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• Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Der Druckausgleich

  Mit dem Druckausgleich (also zwei Kammern mit einer beweglichen Trennwand, in der sich anfangs Gase mit unterschiedlichem Druck befinden) lassen sich zahlreiche Aspekte der Entropie und allgemeiner der Thermodynamik demonstrieren (reversible und irreversible Prozessführung, Eindeutigkeit des Endzustandes, Maximum der Entropie, Temperatur- und Volumenabhängigkeit der Entropie).

  walterMittel5 Apr. 20220ZustandsgleichungZustandsgrößeTemperaturausgleichWärmeDruckausgleichadiabatischideales Gasreversibelmechanische ArbeitEntropieirreversibelinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungThermodynamik

• Die innere Energie als thermodynamisches Potential

  Wird die innere Energie als Funktion der extensiven Variablen dargestellt, enthält sie sämtliche Eigenschaften des entsprechenden thermodynamischen Systems; dies rechtfertigt die innere Energie als thermodynamisches Potential zu bezeichnen. Untersucht man speziell die innere Energie bei adiabatischen Zustandsänderungen, so kann man leicht motivieren, weshalb andere thermodynamische Potentiale (wie freie Energie oder Enthalpie) eingeführt werden. Am idealen einatomigen Gas werden diese Eigenschaften der inneren Energie demonstriert.

  walterMittel24 Mär. 20220EntropieZustandsgleichunginnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungWärmeThermodynamikadiabatischthermodynamisches Potentialideales Gasmechanische Arbeit

• Der Carnot-Prozess und der Carnot-Faktor

  Der Carnot-Prozess ist sowohl inhaltlich als auch methodisch wichtig für die Thermodynamik: Seine Analyse liefert zahlreiche Einsichten in ihre Konzepte, Argumentationsweisen und technische Anwendungen.

  walterMittel5 Mär. 202215KreisprozessCarnot-ProzessZustandsgleichungZustandsgrößeWirkungsgradWärmeCarnotisothermCarnot-FaktoradiabatischEntropieinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturThermodynamikisotherme Expansion

• Funktionsfabriken in R

  Funktionsfabriken sind ein Konzept der funktionalen Programmierung. Damit werden Funktionen bezeichnet, die als Rückgabewert eine Funktion besitzen. Zum Einsatz von Funktionsfabriken sind Kenntnisse über die Umgebung einer Funktion nötig, um von der erzeugten Funktion auf die Variablen zuzugreifen, die innerhalb der Funktionsfabrik berechnet wurden. Es wird diskutiert, wann Funktionsfabriken eingesetzt werden sollen (ihr Einsatz ist niemals zwingend, da man sie immer durch herkömmliche Funktionen ersetzen kann). Beispiele, insbesondere mit Fabriken für quadratische Formen, werden ausführlich vorgestellt.

  walterMittel21 Feb. 20220Umgebungscatterplot3danonyme FunktionFunktionalFunktionsfabrikfunktionale ProgrammierungenvironmentFunktionquadratische Form

• Die eindimensionale Legendre-Transformation: Motivation, Definition und einfache Beispiele

  Die Legendre-Transformation wird geometrisch motiviert, indem die Menge der Tangenten an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Die formale Definition wird von der Verallgemeinerung, der Legendre-Fenchel-Transformation, abgegrenzt und es wird gezeigt, dass für differenzierbare und konvexe Funktionen beide Transformationen identisch sind. Für einfache Funktionen wird die Legendre-Transformation berechnet und veranschaulicht.

  walterMittel16 Feb. 20220TangenteSteigungUmkehrfunktionkonvexe FunktionkonkavkonvexLegendre-Fenchel-TransformationLegendre-Transformation

• Die Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases

  Für das ideale einatomige Gas werden die Zusammenhänge zwischen den Hauptsätzen der Thermodynamik und den Zustandsgleichungen (thermische und kalorische Zustandsgleichung) diskutiert und angewendet, um die Entropie in verschiedenen Darstellungen zu berechnen. Illustriert werden die Herleitungen an speziellen Zustandsänderungen (isotherm, isochor, adiabatisch, freie Expansion).

  walterMittel10 Feb. 202202. Hauptsatz der ThermodynamikZustandsgleichungZustandsgrößeWärmeisothermadiabatischEntropieProzessgrößeinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungThermodynamikfreie Expansionisochorisotherme Expansion1. Hauptsatz der Thermodynamik

• Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung

  Die Jensensche Ungleichung liefert eine Abschätzung zwischen der Anwendung einer Funktion auf eine konvexe Kombination beziehungsweise der konvexen Kombination der Funktionswerte. Je nachdem, ob die Funktion konvex oder konkav ist, erhält man ein anderes Ungleichheitszeichen zwischen den genannten Termen. Im Folgenden werden die zum Beweis der Jensenschen Ungleichung nötigen Eigenschaften von konvexen Funktionen erläutert, die Jensensche Ungleichung formuliert und bewiesen und einige Anwendungen gezeigt (Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf Erwartungswerte von Zufallsvariablen).

  walterMittel8 Feb. 20220arithmetisches Mittelkonkave Funktiondiskrete Zufallsvariablekonvexe FunktionZufallsvariablekonkavkonvexErwartungswertKonvexkombinationJensensche Ungleichunggeometrisches Mittel

• Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele

  Die Definition der Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder einer Zufallsvariable wird an einfachen Beispielen erläutert. Es wird diskutiert, dass die Entropie kein Streuungsmaß ist (wie die Standardabweichung), sondern die Ungewissheit (oder Unbestimmtheit) des Ausgangs eines Zufallsexperimentes beschreibt.

  walterAnfänger4 Dez. 20210Varianzdiskrete ZufallsvariableErwartungswertKonvexitätElementarereignisWahrscheinlichkeitsmaßWahrscheinlichkeitsverteilungEntropieUngewissheitStandardabweichungErgebnisraumWahrscheinlichkeitsraumZufallsvariableStreuungsmaßSimplex

• Lineare Regression mit Hilfe von lm() und Funktionen zum Extrahieren von Modelleigenschaften

  Die Funktion lm() ist ein mächtiges Instrument für die lineare Regression, das zahlreiche statistische Informationen über die untersuchten Daten bereitstellt. Es wird hier nur für die wichtigsten statistischen Größen gezeigt, wie man sie entweder direkt oder durch weitere Hilfsfunktionen gewinnen kann.

  walterAnfänger20 Nov. 20210Residualplotlm()residuals()ResiduumStatistikRegressionswertesummary()coefficients()fitted.values()RegressionsanalyseMethode der kleinsten QuadrateRegressionsgeradesummary.lm()plot.lm()plot()Bestimmtheitsmaß

• Regressionsanalyse: Die Varianzzerlegung, das Bestimmtheitsmaß und der Residualplot

  Durch Definition geeigneter Zufallsvariablen (Regressionswert und Residuum) bei einer Regressionsanalyse wird man auf die sogenannte Varianzzerlegung geführt. Sie erlaubt es durch eine einzige Kennzahl (das Bestimmtheitsmaß) zu beurteilen, wie gut die Messdaten durch die Regressionsgerade approximiert werden. Das Diagramm, das die Güte der Approximation am Besten ausdrücken kann, ist der Residualplot.

  walterAnfänger7 Nov. 20210VarianzResidualplotSum of Squares ResidualsResiduumStatistikReststreuungRegressionswerteStandardabweichungRegressionsanalyseMethode der kleinsten QuadrateVarianzzerlegungRegressionsgeradeKovarianzSQESum of Squares ExplainedKorrelationskoeffizientBestimmtheitsmaßSQR