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Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Der Druckausgleich
Mit dem Druckausgleich (also zwei Kammern mit einer beweglichen Trennwand, in der sich anfangs Gase mit unterschiedlichem Druck befinden) lassen sich zahlreiche Aspekte der Entropie und allgemeiner der Thermodynamik demonstrieren (reversible und irreversible Prozessführung, Eindeutigkeit des Endzustandes, Maximum der Entropie, Temperatur- und Volumenabhängigkeit der Entropie).
walter
Mittel
5 Apr. 2022
0
Zustandsgleichung
Zustandsgröße
Temperaturausgleich
Wärme
Druckausgleich
adiabatisch
ideales Gas
reversibel
mechanische Arbeit
Entropie
irreversibel
innere Energie
thermische Zustandsgleichung
Temperatur
kalorische Zustandsgleichung
Thermodynamik
Die innere Energie als thermodynamisches Potential
Wird die innere Energie als Funktion der extensiven Variablen dargestellt, enthält sie sämtliche Eigenschaften des entsprechenden thermodynamischen Systems; dies rechtfertigt die innere Energie als thermodynamisches Potential zu bezeichnen. Untersucht man speziell die innere Energie bei adiabatischen Zustandsänderungen, so kann man leicht motivieren, weshalb andere thermodynamische Potentiale (wie freie Energie oder Enthalpie) eingeführt werden. Am idealen einatomigen Gas werden diese Eigenschaften der inneren Energie demonstriert.
walter
Mittel
24 Mär. 2022
0
Entropie
Zustandsgleichung
innere Energie
thermische Zustandsgleichung
Temperatur
kalorische Zustandsgleichung
Wärme
Thermodynamik
adiabatisch
thermodynamisches Potential
ideales Gas
mechanische Arbeit
Der Carnot-Prozess und der Carnot-Faktor
Der Carnot-Prozess ist sowohl inhaltlich als auch methodisch wichtig für die Thermodynamik: Seine Analyse liefert zahlreiche Einsichten in ihre Konzepte, Argumentationsweisen und technische Anwendungen.
walter
Mittel
5 Mär. 2022
15
Kreisprozess
Carnot-Prozess
Zustandsgleichung
Zustandsgröße
Wirkungsgrad
Wärme
Carnot
isotherm
Carnot-Faktor
adiabatisch
Entropie
innere Energie
thermische Zustandsgleichung
Temperatur
Thermodynamik
isotherme Expansion
Funktionsfabriken in R
Funktionsfabriken sind ein Konzept der funktionalen Programmierung. Damit werden Funktionen bezeichnet, die als Rückgabewert eine Funktion besitzen. Zum Einsatz von Funktionsfabriken sind Kenntnisse über die Umgebung einer Funktion nötig, um von der erzeugten Funktion auf die Variablen zuzugreifen, die innerhalb der Funktionsfabrik berechnet wurden. Es wird diskutiert, wann Funktionsfabriken eingesetzt werden sollen (ihr Einsatz ist niemals zwingend, da man sie immer durch herkömmliche Funktionen ersetzen kann). Beispiele, insbesondere mit Fabriken für quadratische Formen, werden ausführlich vorgestellt.
walter
Mittel
21 Feb. 2022
0
Umgebung
scatterplot3d
anonyme Funktion
Funktional
Funktionsfabrik
funktionale Programmierung
environment
Funktion
quadratische Form
Die eindimensionale Legendre-Transformation: Motivation, Definition und einfache Beispiele
Die Legendre-Transformation wird geometrisch motiviert, indem die Menge der Tangenten an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Die formale Definition wird von der Verallgemeinerung, der Legendre-Fenchel-Transformation, abgegrenzt und es wird gezeigt, dass für differenzierbare und konvexe Funktionen beide Transformationen identisch sind. Für einfache Funktionen wird die Legendre-Transformation berechnet und veranschaulicht.
walter
Mittel
16 Feb. 2022
0
Tangente
Steigung
Umkehrfunktion
konvexe Funktion
konkav
konvex
Legendre-Fenchel-Transformation
Legendre-Transformation
Die Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases
Für das ideale einatomige Gas werden die Zusammenhänge zwischen den Hauptsätzen der Thermodynamik und den Zustandsgleichungen (thermische und kalorische Zustandsgleichung) diskutiert und angewendet, um die Entropie in verschiedenen Darstellungen zu berechnen. Illustriert werden die Herleitungen an speziellen Zustandsänderungen (isotherm, isochor, adiabatisch, freie Expansion).
walter
Mittel
10 Feb. 2022
0
2. Hauptsatz der Thermodynamik
Zustandsgleichung
Zustandsgröße
Wärme
isotherm
adiabatisch
Entropie
Prozessgröße
innere Energie
thermische Zustandsgleichung
Temperatur
kalorische Zustandsgleichung
Thermodynamik
freie Expansion
isochor
isotherme Expansion
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung
Die Jensensche Ungleichung liefert eine Abschätzung zwischen der Anwendung einer Funktion auf eine konvexe Kombination beziehungsweise der konvexen Kombination der Funktionswerte. Je nachdem, ob die Funktion konvex oder konkav ist, erhält man ein anderes Ungleichheitszeichen zwischen den genannten Termen. Im Folgenden werden die zum Beweis der Jensenschen Ungleichung nötigen Eigenschaften von konvexen Funktionen erläutert, die Jensensche Ungleichung formuliert und bewiesen und einige Anwendungen gezeigt (Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf Erwartungswerte von Zufallsvariablen).
walter
Mittel
8 Feb. 2022
0
arithmetisches Mittel
konkave Funktion
diskrete Zufallsvariable
konvexe Funktion
Zufallsvariable
konkav
konvex
Erwartungswert
Konvexkombination
Jensensche Ungleichung
geometrisches Mittel
Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele
Die Definition der Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder einer Zufallsvariable wird an einfachen Beispielen erläutert. Es wird diskutiert, dass die Entropie kein Streuungsmaß ist (wie die Standardabweichung), sondern die Ungewissheit (oder Unbestimmtheit) des Ausgangs eines Zufallsexperimentes beschreibt.
walter
Anfänger
4 Dez. 2021
0
Varianz
diskrete Zufallsvariable
Erwartungswert
Konvexität
Elementarereignis
Wahrscheinlichkeitsmaß
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Entropie
Ungewissheit
Standardabweichung
Ergebnisraum
Wahrscheinlichkeitsraum
Zufallsvariable
Streuungsmaß
Simplex
Lineare Regression mit Hilfe von lm() und Funktionen zum Extrahieren von Modelleigenschaften
Die Funktion lm() ist ein mächtiges Instrument für die lineare Regression, das zahlreiche statistische Informationen über die untersuchten Daten bereitstellt. Es wird hier nur für die wichtigsten statistischen Größen gezeigt, wie man sie entweder direkt oder durch weitere Hilfsfunktionen gewinnen kann.
walter
Anfänger
20 Nov. 2021
0
Residualplot
lm()
residuals()
Residuum
Statistik
Regressionswerte
summary()
coefficients()
fitted.values()
Regressionsanalyse
Methode der kleinsten Quadrate
Regressionsgerade
summary.lm()
plot.lm()
plot()
Bestimmtheitsmaß
Regressionsanalyse: Die Varianzzerlegung, das Bestimmtheitsmaß und der Residualplot
Durch Definition geeigneter Zufallsvariablen (Regressionswert und Residuum) bei einer Regressionsanalyse wird man auf die sogenannte Varianzzerlegung geführt. Sie erlaubt es durch eine einzige Kennzahl (das Bestimmtheitsmaß) zu beurteilen, wie gut die Messdaten durch die Regressionsgerade approximiert werden. Das Diagramm, das die Güte der Approximation am Besten ausdrücken kann, ist der Residualplot.
walter
Anfänger
7 Nov. 2021
0
Varianz
Residualplot
Sum of Squares Residuals
Residuum
Statistik
Reststreuung
Regressionswerte
Standardabweichung
Regressionsanalyse
Methode der kleinsten Quadrate
Varianzzerlegung
Regressionsgerade
Kovarianz
SQE
Sum of Squares Explained
Korrelationskoeffizient
Bestimmtheitsmaß
SQR
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