• Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Lösung von Wartezeitproblemen mit Hilfe der geometrischen Verteilung

  Die geometrische Verteilung kann als Verteilung von Wartezeiten aufgefasst werden, wenn man einen Münzwurf solange wiederholt bis der erste Treffer eintritt: man berechnet die Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der nötigen Würfe. Man kann dieses Wartezeitproblem verallgemeinern, indem man nicht bis zum ersten sondern bis zum r-ten Treffer wartet. Die Verteilung dieser Wartezeiten wird berechnet und die Eigenschaften der dabei entstehenden Verteilung wird untersucht.

  walterMittel12 Sep. 20220Varianzdiskrete ZufallsvariableWartezeitgeometrische ReiheErwartungswertBaumdiagrammWahrscheinlichkeitsverteilungStandardabweichungBinomialkoeffizientFaltunggeometrische VerteilungZufallsvariablegeometrische FolgeUnabhängigkeit

• Die Herleitung der Stirling-Approximation mit der Laplace-Methode

  Das asymptotische Verhalten der Fakultät n! wird in sehr guter Näherung durch die Stirling-Approximation beschrieben. Sie wird hier durch die sogenannte Laplace-Methode hergeleitet. Dabei wird die Fakultät mit Hilfe der Gamma-Funktion ausgedrückt; das uneigentliche Integral wird durch geeignete Umformungen und Näherungen berechnet. Die Güte der Approximation wird nicht untersucht, aber es werden alle Rechenschritte erläutert und die Zwischenergebnisse veranschaulicht.

  walterMittel5 Aug. 20220SubstitutionStirling-ApproximationLaplace-MethodeGamma-FunktionFakultätGauß-Integraluneigentliches IntegralTaylor-Entwicklung

• Eigenschaften der thermodynamischen Potentiale: Die freie Energie

  Die freie Energie F = U - TS ist die (negative) Legendre-Transformierte der inneren Energie U, wenn diese als Funktion der extensiven Variablen Entropie S und Volumen V dargestellt wird: U = U(S, V); die Legendre-Transformation wird dabei bezüglich der Variable S berechnet. Es ist dann leicht nachzuweisen, dass die freie Energie ein thermodynamisches Potential ist und dass die Änderung der freien Energie bei isothermen Zustandsänderungen mit der Zufuhr von mechanischer Arbeit übereinstimmt.

  walterMittel2 Jun. 20220Entropiefreie Energieinnere Energiegebundene EnergieTemperaturThermodynamikisothermadiabatischthermodynamisches Potentialideales Gas

• Die freie Energie und die gebundene Energie

  Mit Hilfe der freien Energie und der gebundenen Energie soll die innere Energie in zwei Anteile zerlegt werden: Die freie Energie soll allein durch die Zufuhr von mechanischer Arbeit und die gebundene Energie allein durch die Zufuhr von Wärme verändert werden. Diese Zerlegung lässt sich allerdings nur für isotherme Prozesse durchführen. Die Eigenschaften der freien und gebundenen Energie werden für die isotherme Zustandsänderung und andere einfache Prozesse diskutiert.

  walterMittel19 Mai 20220Entropiefreie Energieinnere Energiegebundene EnergieTemperaturWärmeThermodynamikisothermadiabatischisochorideales Gas

• Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Der Druckausgleich

  Mit dem Druckausgleich (also zwei Kammern mit einer beweglichen Trennwand, in der sich anfangs Gase mit unterschiedlichem Druck befinden) lassen sich zahlreiche Aspekte der Entropie und allgemeiner der Thermodynamik demonstrieren (reversible und irreversible Prozessführung, Eindeutigkeit des Endzustandes, Maximum der Entropie, Temperatur- und Volumenabhängigkeit der Entropie).

  walterMittel5 Apr. 20220ZustandsgleichungZustandsgrößeTemperaturausgleichWärmeDruckausgleichadiabatischideales Gasreversibelmechanische ArbeitEntropieirreversibelinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungThermodynamik

• Die innere Energie als thermodynamisches Potential

  Wird die innere Energie als Funktion der extensiven Variablen dargestellt, enthält sie sämtliche Eigenschaften des entsprechenden thermodynamischen Systems; dies rechtfertigt die innere Energie als thermodynamisches Potential zu bezeichnen. Untersucht man speziell die innere Energie bei adiabatischen Zustandsänderungen, so kann man leicht motivieren, weshalb andere thermodynamische Potentiale (wie freie Energie oder Enthalpie) eingeführt werden. Am idealen einatomigen Gas werden diese Eigenschaften der inneren Energie demonstriert.

  walterMittel24 Mär. 20220EntropieZustandsgleichunginnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungWärmeThermodynamikadiabatischthermodynamisches Potentialideales Gasmechanische Arbeit

• Der Carnot-Prozess und der Carnot-Faktor

  Der Carnot-Prozess ist sowohl inhaltlich als auch methodisch wichtig für die Thermodynamik: Seine Analyse liefert zahlreiche Einsichten in ihre Konzepte, Argumentationsweisen und technische Anwendungen.

  walterMittel5 Mär. 202215KreisprozessCarnot-ProzessZustandsgleichungZustandsgrößeWirkungsgradWärmeCarnotisothermCarnot-FaktoradiabatischEntropieinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturThermodynamikisotherme Expansion

• Funktionsfabriken in R

  Funktionsfabriken sind ein Konzept der funktionalen Programmierung. Damit werden Funktionen bezeichnet, die als Rückgabewert eine Funktion besitzen. Zum Einsatz von Funktionsfabriken sind Kenntnisse über die Umgebung einer Funktion nötig, um von der erzeugten Funktion auf die Variablen zuzugreifen, die innerhalb der Funktionsfabrik berechnet wurden. Es wird diskutiert, wann Funktionsfabriken eingesetzt werden sollen (ihr Einsatz ist niemals zwingend, da man sie immer durch herkömmliche Funktionen ersetzen kann). Beispiele, insbesondere mit Fabriken für quadratische Formen, werden ausführlich vorgestellt.

  walterMittel21 Feb. 20220Umgebungscatterplot3danonyme FunktionFunktionalFunktionsfabrikfunktionale ProgrammierungenvironmentFunktionquadratische Form

• Die eindimensionale Legendre-Transformation: Motivation, Definition und einfache Beispiele

  Die Legendre-Transformation wird geometrisch motiviert, indem die Menge der Tangenten an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Die formale Definition wird von der Verallgemeinerung, der Legendre-Fenchel-Transformation, abgegrenzt und es wird gezeigt, dass für differenzierbare und konvexe Funktionen beide Transformationen identisch sind. Für einfache Funktionen wird die Legendre-Transformation berechnet und veranschaulicht.

  walterMittel16 Feb. 20220TangenteSteigungUmkehrfunktionkonvexe FunktionkonkavkonvexLegendre-Fenchel-TransformationLegendre-Transformation

• Die Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases

  Für das ideale einatomige Gas werden die Zusammenhänge zwischen den Hauptsätzen der Thermodynamik und den Zustandsgleichungen (thermische und kalorische Zustandsgleichung) diskutiert und angewendet, um die Entropie in verschiedenen Darstellungen zu berechnen. Illustriert werden die Herleitungen an speziellen Zustandsänderungen (isotherm, isochor, adiabatisch, freie Expansion).

  walterMittel10 Feb. 202202. Hauptsatz der ThermodynamikZustandsgleichungZustandsgrößeWärmeisothermadiabatischEntropieProzessgrößeinnere Energiethermische ZustandsgleichungTemperaturkalorische ZustandsgleichungThermodynamikfreie Expansionisochorisotherme Expansion1. Hauptsatz der Thermodynamik