Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)

Zusammenstellung verschiedener Kapitel der Mathematik, die insbesondere für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler relevant sind. Kurs zum Selbststudium.

Die Auswahl und Voraussetzungen

Ähnlich wie der Kurs Einführung in die Informatik ist dieser Kurs aus mehreren Vorlesungen an verschiedenen Hochschulen hervorgegangen. Ausgewählt wurden dabei diejenigen Kapitel, die

  • nicht in jeder Vorlesung zur Einführung in die Mathematik behandelt werden (Analysis und Lineare Algebra sind immer Teil der Mathematik-Ausbildung an Hochschulen und werden hier nicht erläutert),
  • insbesondere bei Programmier-Anwendungen von Bedeutung sind.

Der letzte Punkt soll aber nicht bedeuten, dass der Kurs ausschließlich Programmierer ansprechen soll; die besprochenen Themen sollten für eine Vielzahl von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern interessant sein.

An Voraussetzungen reichen meist die Mathematik-Kenntnisse, die der Hochschulreife entsprechen. An einigen Stellen werden aber Kenntnisse in mehrdimensionaler Differential- und Integralrechnung und in Linearer Algebra sowie der sichere Umgang mit wissenschaftlichen Funktionen vorausgesetzt.

Sofern mehr als Hochschulreife zum Verständnis nötig ist, wird zur besseren Orientierung jedem Kapitel ein kurzer Überblick über die Voraussetzungen vorangestellt.

Die Zielsetzung

Die Zielsetzung des Kurses liegt weniger darin, mathematische Begriffe möglichst exakt zu definieren und sämtliche Aussagen lückenlos zu beweisen – ein echter Mathematiker wird mit diesem Kurs eher unzufrieden sein und seine Ungenauigkeit ankreiden.

Für den Anwender ist diese mathematische Sichtweise auch meist nicht sehr hilfreich, da er lieber mit Hilfe von Beispielen an neue Konzepte und Formeln herangeführt werden möchte. Aber genau dies soll dieser Kurs leisten: Seine Zielsetzung ist es, die inhaltliche Bedeutung der vorgestellten Konzepte durchsichtig gemacht werden, indem

  • die Motivation der Begriffsbildungen vorgestellt wird,
  • die Konzepte, Formeln und Sätze an Beispielen erläutert werden und
  • Beweise nicht in allen Details und Spitzfindigkeiten ausgeführt werden, sondern meist nur die Beweisideen geschildert werden.

Großteils werden nach dem Theorieteil R-Skripte gezeigt, die zuvor besprochene Konzepte aufgreifen und diese nochmals veranschaulichen sollen. Ein Einführungskurs in die Programmiersprache R ist in der Einführung in die Informatik enthalten. Wer schon mit einer anderen Programmiersprache gut vertraut ist, wird sich schnell in die Syntax von R einfinden und in der Lage sein, die Programme in seiner eigenen Sprache zu schreiben.

Ausführliches Inhaltsverzeichnis

  1. Zahlentheorie
    1. Stellenwertsysteme und Umrechnung zwischen den wichtigsten Zahlensystemen: Dezimalsystem, Hexadezimalsystem, Dualsystem
    2. Ganzzahl-Division: Kongruenzen und Restklassen als Beispiele für Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
    3. Rechnen mit Restklassen: Teilbarkeitsregeln
    4. Die Teilbarkeitsrelation als Ordnungsrelation
    5. Der größte gemeinsame Teiler und der Euklidische Algorithmus
    6. Primzahlen
    7. Pythagoreische Zahlentripel
      1. Der Satz des Pythagoras und pythagoreische Zahlentripel
      2. Explizite Berechnung der primitiven pythagoreischen Zahlentripel
  2. Graphentheorie
  3. Wahrscheinlichkeitsrechnung
    1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit
    2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Axiome von Kolmogorov
    3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: einfache Abzählprobleme
    4. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Begriffsbildungen der Kombinatorik
    5. Entwicklung eines brute force Algorithmus für das Damenproblem
  4. Statistik

Literaturempfehlungen

  1. Arens, Tilo et al. Mathematik. 4. Auflage. Berlin: Springer Spektrum, 2018.
  2. Matoušek, Jiří und Jaroslav Nešetřil. Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. 2. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007.
  3. Rousseau, Christiane und Saint-Aubin, Yvan. Mathematik und Technologie. 1. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. (Rezension)
  4. Schubert, Matthias. Mathematik für Informatiker. 2. Aufl. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 2012. (Rezension)
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