Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt

An zwei einfachen Beispielen (Logarithmusfunktion und Wurzelfunktion) wird demonstriert, wie man zu einer gegeben Funktion f(x) das Taylor-Polynom berechnet: Dazu wird der Ansatz verallgemeinert, wie zum Entwicklungspunkt 0 aus den Ableitungen von f(x) die Koeffizienten des Taylor-Polynoms berechnet werden.
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Einordnung des Artikels

Der Artikel setzt elementare Kenntnisse der Differentialrechnung und ├╝ber die Fakult├Ąt voraus.

Einf├╝hrung

In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele wurde gezeigt, wie das Taylor-Polynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 berechnet wird.

Dieser Ansatz kann leicht f├╝r eine beliebige reelle Zahl x0 verallgemeinert werden. Man ben├Âtigt dies, wenn der Funktionswert und die Werte der ersten n Ableitungen einer Funktion an der Stelle x0 bekannt sind. Das Taylor-Polynom wird dann nahezu identisch wie im Fall "Entwicklungspunkt x0 = 0" berechnet.

Demonstriert wird dies an den beiden Beispielen Logarithmusfunktion und Wurzelfunktion. Bei beiden Funktionen sind f├╝r x0 = 1 der Funktionswert und die ersten n Ableitungen rationale Zahlen und k├Ânnen somit in endlich vielen Rechenschritten berechnet werden. Das Taylor-Polynom liefert dann eine einfache M├Âglichkeit, Logarithmen und Wurzeln f├╝r andere x-Werte n├Ąherungsweise zu berechnen.

Motivation des Ansatzes zur Berechnung des Taylor-Polynoms zu einem beliebigen Entwicklungspunkt

Zusammenfassung: Berechnung des Taylor-Polynoms mit Entwicklungspunkt null

Abbildung 1 zeigt den Ansatz, wie zu einer gegebenen Funktion f(x) das Taylor-Polynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 berechnet wird. Die einzelnen Schritte werden nicht erl├Ąutert, da sie in Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele ausf├╝hrlich diskutiert wurden.

  1. Die Funktion f(x) muss in x0 = 0 mindestens n-mal differenzierbar sein (siehe Gleichung (1) in Abbildung 1).
  2. Der Ansatz erfolgt mit Hilfe ein Polynoms pn(x) vom Grad n (siehe Gleichung (2) in Abbildung 1).
  3. Gefordert wird nun, dass am Entwicklungspunkt x0 = 0 sowohl die Funktionswerte als auch die Werte der ersten n Ableitungen der Funktion f(x) und des Polynoms pn(x) ├╝bereinstimmen (siehe Gleichung (3, 4) in Abbildung 1).

Aus diesen Gleichheiten kann man sukzessive die Koeffizienten des Polynoms pn(x) berechnen (siehe Gleichung (5) in Abbildung 1). Dadurch erh├Ąlt man das Polynom pn(x), das auf allen reellen Zahlen definiert ist (siehe Gleichung (6) beziehungsweise (7) in Abbildung 1).

Abbildung 1: Zusammenfassung: Berechnung des Taylor-Polynoms einer Funktion f(x) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 0.Abbildung 1: Zusammenfassung: Berechnung des Taylor-Polynoms einer Funktion f(x) zum Entwicklungspunkt x0 = 0.

Der Ansatz f├╝r ein Taylor-Polynom zu einem beliebigen Entwicklungspunkt

Die Beispiele zum Taylor-Polynom aus Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele haben gezeigt, dass man das Taylor-Polynom (nach Gleichung (6) beziehungsweise (7) in Abbildung 1) folgenderma├čen lesen kann:

  • Am Entwicklungspunkt x0 = 0 stimmen die Funktion f(x) und das Taylor-Polynom pn im Funktionswert und in den ersten n Ableitungen ├╝berein (Steigung, Kr├╝mmungsverhalten und so weiter). Dies waren gerade die Anforderungen an das Taylor-Polynom.
  • Man kann daher erwarten, dass sich in der Umgebung des Entwicklungspunktes mit Hilfe des Taylor-Polynoms eine gute N├Ąherung f├╝r die Funktion f(x) berechnen l├Ąsst. Das hei├čt je n├Ąher x an den Entwicklungspunkt heranr├╝ckt, desto kleiner sollte die Differenz |f(x) - pn(x)| werden. (Die Beispiele aus Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele konnten dies quantitativ best├Ątigen.)
  • Erh├Âht man die Ordnung n der Approximation, dann wird der Bereich um den Entwicklungspunkt gr├Â├čer, in dem das Taylor-Polynom die Funktion f(x) approximiert.

Es ist jetzt naheliegend zu fragen:

Wie kann man anstelle von x0 = 0 einen beliebigen reellen Entwicklungspunkt x0 w├Ąhlen, so dass die zuletzt getroffenen Feststellungen f├╝r dieses x0 gelten?

Diese Frage ist naheliegend, da bisher an keiner Stelle die besondere Bedeutung von x0 = 0 verwendet wurde. Die Beispiele aus Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele verwenden lediglich, dass man bei x0 = 0 den Funktionswert f(x0) sowie die h├Âheren Ableitungen elementar berechnen kann. Denn wenn man eine m├Âglichst einfache N├Ąherung f├╝r eine transzendente Zahl berechnen m├Âchte, soll keine transzendente Zahl in den Werten f(x0) oder f(i)(x0) enthalten sein.

Die naheliegende Verallgemeinerung der Berechnung des Taylor-Polynoms besteht dann darin, das Polynom pn(x) nicht mit Potenzen von x, sondern mit Potenzen von (x - x0) anzusetzen. Die Gleichheit von Funktionswerte (und Ableitungen) zwischen f(x) und pn(x) wird an der Stelle des Entwicklungspunktes x0 gefordert. Man kann dann erwarten, das bei kleinen Differenzen (x - x0) das Taylor-Polynom eine gute Approximation der Funktion f(x) liefert.

Abbildung 2 zeigt die analogen Schritte (zu Abbildung 1), wie man das Taylor-Polynom zu einem beliebigen Entwicklungspunkt berechnet:

  1. Die Funktion f(x) muss im Entwicklungspunkt x0 mindestens n-mal differenzierbar sein (siehe Gleichung (1) in Abbildung 2).
  2. Das Polynom pn(x) wird jetzt als Polynom in den Potenzen von (x - x0) angesetzt (siehe Gleichung (2) in Abbildung 2).
  3. Die Gleichheiten zwischen Funktionswert (beziehungsweise Ableitung) von f(x) und dem Polynom pn(x) im Entwicklungspunkt (siehe Gleichung (3, 4) in Abbildung 2).
  4. Die Berechnung der Koeffizienten des Polynoms erfolgt aus den Ableitungen und den Fakult├Ąten (siehe Gleichung (5) in Abbildung 2).
  5. Das Taylor-Polynom hat dann die identische Gestalt wie im Fall x0 = 0, lediglich anstelle der Potenzen von x treten die Potenzen von (x - x0), siehe Gleichung (6, 7).

Abbildung 2: Berechnung des Taylor-Polynoms einer Funktion f(x) zu einem beliebigen Entwicklungspunkt x<sub>0</sub>. Entscheidend ist der Ansatz, wonach das Taylor-Polynom mit Potenzen von (x - x<sub>0</sub>) geschrieben wird.Abbildung 2: Berechnung des Taylor-Polynoms einer Funktion f(x) zu einem beliebigen Entwicklungspunkt x0. Entscheidend ist der Ansatz, wonach das Taylor-Polynom mit Potenzen von (x - x0) geschrieben wird.

Beispiele

Das Taylor-Polynom der Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ÔÇô im Folgenden wird stets der nat├╝rliche Logarithmus betrachtet und mit ln x abgek├╝rzt ÔÇô ist eine typische transzendente Funktion, deren Funktionswerte im Allgemeinen nicht durch endlich viele Schritte berechnet werden k├Ânnen. Ausnahme ist der Funktionswert und die Ableitungen bei x = 1. Um N├Ąherungen von ln x f├╝r beliebige x-Werte zu berechnen, ist es naheliegend, die Logarithmusfunktion um x0 = 1 in ein Taylor-Polynom zu entwickeln.

Berechnung des Taylor-Polynoms des nat├╝rlichen Logarithmus

Abbildung 3 zeigt die Vorgehensweise, wie man das Taylor-Polynom zum Entwicklungspunkt x0 = 1 berechnet:

  1. Man ben├Âtigt den Funktionswert und die Ableitungen der Funktion f(x) = ln x an der Stelle x0 = 1 (siehe Gleichungen (1) bis (3) in Abbildung 3).
  2. Aus den Ableitungen werden die Koeffizienten des Taylor-Polynoms berechnet; der Koeffizient a0 ist gleich null, da ln 1 = 0 (siehe Gleichung (4) in Abbildung 3).
  3. Das Taylor-Polynom erh├Ąlt man dann in den Darstellung nach Gleichung (5).
  4. Mit Hilfe der Substitution z = x - 1 erh├Ąlt man ein Polynom in z. Wendet man die Substitution auf ln x an, so erh├Ąlt man die Funktion ln (1 + z), wobei man beachten muss, dass diese Funktion jetzt f├╝r z > -1 definiert ist. Das Taylor-Polynom in der Variable z ist in Gleichung (7) und (8) gezeigt.

Abbildung 3: Berechnung des Taylor-Polynoms f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1.Abbildung 3: Berechnung des Taylor-Polynoms f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus zum Entwicklungspunkt x0 = 1.

Graphische Darstellung der Taylor-Polynome

Die Abbildungen 4 bis 6 zeigen die Taylor-Polynome der Logarithmusfunktion (bei Entwicklung um x0 = 1) f├╝r die Ordnungen von 0 bis 11. S├Ąmtliche Diagramme sind identisch skaliert, so dass man sie untereinander besser vergleichen kann.

Abbildung 4: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.Abbildung 4: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.

Abbildung 5: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.Abbildung 5: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.

Abbildung 6: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.Abbildung 6: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r den nat├╝rlichen Logarithmus (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.

Auff├Ąllig ist das Verhalten der Taylor-Polynome bei x = 2: Dort gehen die Polynome schnell gegen +Ôł× oder -Ôł×, was vermuten l├Ąsst, dass der Bereich nicht anw├Ąchst, auf dem die Taylor-Polynome eine gute Approximation darstellen, wenn die Ordnung n gr├Â├čer wird.

Das Taylor-Polynom der Wurzelfunktion

Als zweites Beispiel soll die Wurzelfunktion untersucht werden. Mit dem Heron-Verfahren gibt es zwar eine einfache Rekursion, mit der sich N├Ąherungen f├╝r Quadratwurzeln sehr schnell berechnen lassen, dennoch soll das Verhalten der Taylor-Approximation untersucht werden. (Eine kurze Erl├Ąuterung des Heron-Verfahrens findet sich in Einf├╝hrung in die Programmiersprache C: Schleifen mit for und while.)

Es w├Ąre dann zum Beispiel interessant, ob die Taylor-Approximation bessere Ergebnisse liefert (besser im Sinne von weniger Rechenaufwand bei gleicher Genauigkeit). Diese Frage wird hier nicht untersucht; es wird lediglich das Taylor-Polynom zum Entwicklungspunkt x0 = 1 berechnet.

Berechnung des Taylor-Polynoms

Die Wurzelfunktion liefert im Allgemeinen irrational Zahlen, die nicht in endlich vielen Rechenschritten berechnet werden k├Ânnen. Da aber die Wurzel aus 1 wiederum gleich 1 ist und alle Ableitungen der Wurzelfunktion an der Stelle 1 rationale Zahlen sind, ist es naheliegend die Wurzelfunktion bei x0 = 1 in ein Taylor-Polynom zu entwickeln und dieses Polynom f├╝r Approximationen zu verwenden.

Abbildung 7 zeigt die Vorgehensweise aus Abbildung 2 und 3 angewendet auf die Wurzelfunktion. Die Ableitungen der Wurzelfunktion lassen sich sehr kompakt schreiben, wenn man die fallende Faktorielle P(n, k) in ihrem ersten Argument von den nat├╝rlichen Zahlen auf reelle Zahlen verallgemeinert (siehe Gleichung (2)). Damit k├Ânnen auch die Koeffizienten im Taylor-Polynom sehr einfach geschrieben werden (siehe Gleichung (5) und (6) in Abbildung 7).

Abbildung 7: Die Berechnung des Taylor-Polynoms der Wurzelfunktion. Dazu wird die fallende Faktorielle im ersten Argument auf reelle Zahlen verallgemeinert, wodurch sich die Koeffizienten im Taylor-Polynom leicht ausdr├╝cken lassen.Abbildung 7: Die Berechnung des Taylor-Polynoms der Wurzelfunktion. Dazu wird die fallende Faktorielle im ersten Argument auf reelle Zahlen verallgemeinert, wodurch sich die Koeffizienten im Taylor-Polynom leicht ausdr├╝cken lassen.

Darstellung der Taylor-Polynome

Die Abbildungen 8 bis 10 zeigen wieder die Taylor-Polynome der Ordnung 0 bis 11. Man erkennt wiederum, dass die Taylor-Polynome schnell gegen Ôł× gehen, wenn x > 2.

Abbildung 8: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.Abbildung 8: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.

Abbildung 9: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.Abbildung 9: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.

Abbildung 10: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.Abbildung 10: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r die Wurzelfunktion (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.

Aufgaben

Die Berechnung von ln 2

Man kann das Taylor-Polynom nach Gleichung (5) beziehungsweise (7) in Abbildung 3 f├╝r x = 2 beziehungsweise z = 1 auswerten. Erh├Ąlt man dadurch eine N├Ąherung f├╝r ln 2?

Aufgaben zur Wurzelfunktion

  1. Wie lautet die Taylor-Entwicklung nach Gleichung (6) in Abbildung 8, wenn man wieder die Substitution z = x - 1 vornimmt?
  2. Kann das Taylor-Polynom der Wurzelfunktion eine N├Ąherung f├╝r die Wurzel aus 2 liefern? Wenn ja: Versuchen Sie zu entscheiden, ob das Taylor-Polynom eine bessere N├Ąherung liefert als das Heron-Verfahren.

Die Funktion x Ôćĺ 1/x

Berechnen Sie f├╝r die Funktion f(x) = 1/x das Taylor-Polynom pn (n-ten Grades), wobei n eine beliebige nat├╝rliche Zahl ist. Als Entwicklungspunkt soll x0 = 1 verwendet werden.

Die folgenden drei Abbildungen 11 bis 13 zeigen wiederum die Taylor-Polynome bis zur Ordnung 11. Diskutieren Sie ihren quantitativen Verlauf.

Abbildung 11: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.Abbildung 11: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 0 bis 5.

Abbildung 12: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) zum Entwicklungspunkt x<sub>0</sub> = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.Abbildung 12: Darstellung der Taylor-Polynome (blau) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) zum Entwicklungspunkt x0 = 1 f├╝r die Ordnungen 6 bis 11.

Abbildung 13: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.Abbildung 13: Darstellung aller Taylor-Polynome (gestrichelt) f├╝r die Funktion f(x) = 1/x (rot) aus den letzten beiden Abbildungen.

Auch f├╝r die Funktion f(x) = 1/x ist das Verhalten erkennbar, das bei der Logarithmus- und der Wurzelfunktion aufgetreten ist: Hier gehen f├╝r x > 2 die Taylor-Polynome sehr schnell gegen unendlich, so dass man keine Konvergenz der Taylor-Polynome gegen f(x) erwarten kann. Zeigen Sie dass f├╝r ein festgehaltenes x > 2 die Werte pn(x) f├╝r n Ôćĺ Ôł× nicht konvergieren.

Zusammenfassung und Ausblick

In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele wurden die Taylor-Polynome zur Exponentialfunktion und zur Kosinusfunktion ausf├╝hrlich vorgestellt. Dort wurde als Entwicklungspunkt x0 = 0 gew├Ąhlt.

Hier wurde gezeigt, dass die Taylor-Entwicklung leicht verallgemeinert werden kann zu beliebigen reellen Entwicklungspunkten x0. Der entscheidende Unterschied ist, dass das Taylor-Polynom nicht mehr mit Potenzen von x, sondern mit Potenzen von (x - x0) angesetzt wird (siehe Gleichung (2) in Abbildung 2). F├╝r die Koeffizienten in diesem Polynom gelten dann die analogen Gleichheiten, die auch verwendet wurden, um das Taylor-Polynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 zu berechnen (siehe jeweils Gleichung (5) in Abbildung 1 beziehungsweise 2).

Die Beispiele in diesem Artikel wurden so gew├Ąhlt, dass sie einen weiteren Aspekt der Taylor-Entwicklung zeigen: Quantitativ zeigen die Darstellungen der Taylor-Polynome (zu Logarithmus- und Wurzelfunktion sowie zu f(x) = 1/x), dass sich der Bereich, in dem das Taylor-Polynom eine gute Approximation liefert nicht mit zunehmender Ordnung n anw├Ąchst, sondern ein beschr├Ąnktes Intervall ist (in den vorgestellten Beispielen jeweils das Intervall von 0 bis 2).

Dies zeigt, dass das Taylor-Polynom einerseits ein wichtiges Hilfsmittel ist (um N├Ąherungswerte von transzendenten Funktionen zu berechnen), andererseits aber gro├če Vorsicht geboten ist. Denn es ist leicht, das Taylor-Polynom zu einer gegebenen Funktion zu berechnen, aber es ist schwer anzugeben, f├╝r welche x-Werte das Taylor-Polynom eine gute Approximation der Funktion darstellt. Die oben gezeigten Graphen suggerieren zwar, in welchem Intervall eine gute Approximation zu erwarten ist, aber ein Beweis steht nat├╝rlich noch aus. Und speziell die Grenzen dieses Intervalls m├╝ssen gesondert untersucht werden.