Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: die Integraldarstellung des Restgliedes

Einordnung des Artikels

• Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)
  • Spezielle Kapitel der Analysis
    • Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele
    • Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt
    • Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: die Integraldarstellung des Restgliedes

Einführung

In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele und Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt wurde gezeigt, wie das Taylor-Polynom zu einer Funktion f(x) definiert ist und dass es in vielen Fällen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten verwendet werden kann (insbesondere bei transzendenten Funktionen). Dort wurde die Frage ausgeklammert, wie "gut" das Taylor-Polynom die Funktion approximiert.

Hier wird der entscheidende Schritt unternommen, um die Güte der Approximation zu beurteilen:

Es wird ein Term hergeleitet – das sogenannte Restglied in Integraldarstellung –, das die Differenz zwischen der Funktion f(x) und ihrem Taylor-Polynom beschreibt. Wenn es zudem gelingt, dieses Restglied explizit zu berechnen oder zumindest abzuschätzen, kann man Aussagen der Art herleiten: "Bis zu welcher Ordnung muss man das Taylor-Polynom berechnen, um eine gegebene Genauigkeit der Approximation zu erreichen?"

Die Berechnung des Restgliedes in Integraldarstellung ist sogar konstruktiv in folgendem Sinn: Die Berechnung des Restgliedes konstruiert zugleich das Taylor-Polynom. Dies geschieht dadurch, dass das Restglied sukzessive mit partieller Integration ausgewertet wird, wobei jeweils ein neuer Beitrag zum Taylor-Polynom sowie das Restglied der nächsten Ordnung entsteht.

Ausführliche Beispiele zur Berechnung und Anwendung des Restgliedes werden hier noch nicht gezeigt; lediglich ein einfaches Beispiel mit dem Restglied für die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Die partielle Integration

Zentral für die Herleitung des Restgliedes in Integraldarstellung ist die partielle Integration. Sie wird in Abbildung 1 gezeigt:

1. Die Formel für die Produktregel (Gleichung (1)).
2. Die Voraussetzungen an die beiden Funktionen, unter den die Formel für die partielle Integration gilt (Gleichung (2)).
3. Als Beispiel wird für den natürlichen Logarithmus gezeigt, wie man die partielle Integration anwenden kann: Hier um die Stammfunktion für ln x zu finden. Dazu definiert man die beiden Funktionen g(t) = ln t und h(t) = 1, die dann abgeleitet beziehungsweise integriert werden müssen (Gleichung (4) und (5)). Durch Einsetzen der Formel für die partielle Integration kann man die Stammfunktion berechnen und das Integral aus Gleichung (3) auswerten (siehe Gleichung (6)).

Man kann leicht – entweder am Beispiel oder auch allgemein – nachvollziehen, dass es unerheblich ist, welche Stammfunktion H(t) von h(t) gewählt wird.

Abbildung 1: Die Produktregel, die Formel für die partielle Integration sowie ein Beispiel zur Anwendung der partiellen Integration (die Berechnung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus).

Bezeichnungen und Konventionen

Im Folgenden wird die Integraldarstellung des Restgliedes des Taylor-Polynoms hergeleitet. Dazu sind einigen Bezeichnungen und Konventionen nötig, die hier vorangestellt werden. Die genannten Punkte werden bei der Herleitung dann nicht mehr erläutert.

1. Die Funktion, für die das Taylor-Polynom berechnet wird, wird immer mt f(x) bezeichnet.
2. Als Entwicklungspunkt wird stets x₀ = 0 gewählt und x₀ soll im Inneren des Definitionsbereiches von f(x) liegen.
3. Die Funktion f(x) soll genügend oft stetig differenzierbar sein. Aus Abbildung 1 kann man ablesen, wie oft die Funktion differenzierbar sein muss, um die partielle Integration anwenden zu können.
4. Das Taylor-Polynom vom Grad n zum Entwicklungspunkt x₀ = 0 wird stets mit p_n(x) bezeichnet.
5. Andere Entwicklungspunkte werden hier nicht behandelt. In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt wurde gezeigt, dass man sämtliche Überlegungen zum Taylor-Polynom leicht verallgemeinern kann, wenn man zu einem beliebigen Entwicklungspunkt übergeht.

Herleitung der Integraldarstellung des Restgliedes

Die Fragestellung

In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele und Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt wurde das Taylor-Polynom p_n(x) zu einer gegebenen Funktion f(x) definiert und an mehreren Beispielen gezeigt, dass das Taylor-Polynom mit zunehmender Ordnung die Funktion f(x) immer besser approximiert. Allerdings wurde dies nur an den Graphen der Funktionen gezeigt. Es wurde keine Möglichkeit angegeben, wie man die Differenz zwischen f(x) und dem Taylor-Polynom p_n(x) einfach berechnen oder zumindest abschätzen kann.

Genau Letzteres soll in den nächsten Unterabschnitten erfolgen: Es wird versucht, einen Term herzuleiten, der die Differenz zwischen f(x) und dem Taylor-Polynom p_n(x) beschreibt, und der sich – zumindest bei einfachen Funktionen – leicht abschätzen lässt. Erst wenn dies gelingt, kann man das Taylor-Polynom sinnvoll zur Berechnung von Approximationen einsetzen, denn nur so kann man quantifizieren, wie "gut" die Approximation ist.

Berechnung des Restgliedes mit partieller Integration

Es wird zuerst ein Ansatz gezeigt, der zwar naheliegend ist, aber nicht zum gewünschten Ziel führt. An diesem Ansatz kann man aber leicht ablesen, wie man vorgehen muss, um ein Restglied zu definieren, das die Differenz von f(x) und dem zugehörigen Taylor-Polynom p_n(x) beschreibt.

Abbildung 2 zeigt die Vorgehensweise:

1. Die Differenz f(x) - f(0) wird nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung als ein Integral über die Ableitung f'(t) ausgedrückt (Gleichung (1)).
2. Das Integral wird mit Hilfe partieller Integration umgeformt, wobei die beiden Hilfsfunktionen g(t) und h(t) verwendet werden, siehe Gleichung (2).
3. Die partielle Integration in Gleichung (3) führt zu einer Gleichung für f(x), in der rechts die Summe von f(0) + x·f'(x) und einem Integral steht, siehe Gleichung (4).
4. Allerdings stimmt f(0) + x&middot:f'(x) nicht mit dem Taylor-Polynom p₁ überein; dazu müsste im Argument der Ableitung f' der Entwicklungspunkt 0 stehen.

Abbildung 2: Mit Hilfe der partiellen Integration wird ein Ausdruck für f(x) hergeleitet. Da er nicht das gewünschte Taylor-Polynom enthält, ist dieser Ansatz ungeeignet, um f(x) als Summe von Taylor-Polynom und einem Restglied darzustellen.

Der Ansatz aus Abbildung 2 führt nicht zum gewünschten Ergebnis, denn dazu müsste in Gleichung (4) die Summe aus dem Taylor-Polynom p₁ sowie einem Integral stehen. Daher wird ein neuer Ansatz für die Funktion h(t) aus Gleichung (2) versucht, der dafür sorgt, dass in Gleichung (4) die gewünschte Summe entsteht. Die entsprechende Rechnung wird in Abbildung 3 gezeigt. Man erkennt:

1. Es wird lediglich eine andere Funktion h(t) definiert.
2. Warum h(t) auf den ersten Blick so umständlich geschrieben wird, wird sich bei den höheren Ordnungen als vorteilhaft erweisen: In der dargestellten Form kann man h(t) leicht verallgemeinern, wenn es für beliebige Ordnungen eingesetzt wird.
3. Salopp gesagt sorgt die Addition der Konstante dafür, dass im Argument von f' in Gleichung (4) von Abbildung 2 eben nicht mehr x sondern 0 steht.
4. Die partielle Integration liefert die gewünschte Darstellung von f(x) als das Taylor-Polynom 1. Ordnung und eines Restgliedes, das im Integranden die zweite Ableitung von f(x) enthält.
5. Aus der Darstellung des Restgliedes kann man jetzt ablesen, dass diese Berechnung nur durchgeführt werden darf, wenn f(x) zweimal stetig differenzierbar ist - andernfalls ist das Integral nicht wohldefiniert.

Abbildung 3: Mit einer anderen partiellen Integration als in Abbildung 2 erhält man die gesuchte Darstellung der Funktion f(x) als der Summe des Taylor-Polynoms erster Ordnung und eines Integrals als Restglied.

Die Vorgehensweise von Abbildung 3 kann jetzt fortgesetzt werden, um eine Darstellung

f(x) = p₂(x) + R₂(x)

zu finden. Dazu wird das Restglied R₁(x) mit partieller Integration so umgeformt, dass der nächste Beitrag zum Taylor-Polynom entsteht. Die entscheidende Hilfsfunktionen h(t) ist in Abbildung 4 in Gleichung (2) gezeigt. Gleichung (5) zeigt dann die gesuchte Darstellung von f(x); der Integrand des Restgliedes enthält jetzt die dritte Ableitung von f(x).

Abbildung 4: Der Ansatz aus Abbildung 3 wird verwendet, um mit partieller Integration die 2. und 3. Ordnung

Das Verfahren lässt sich sukzessive fortsetzen; in den Gleichungen (5) und (6) sind wieder die Hilfsfunktionen für die nächste partielle Integration und die Darstellung von f(x) für die dritte Ordnung gezeigt.

Die allgemeine Darstellung des Restgliedes

In Abbildung 5 wird die Aussage allgemein formuliert, die im vorangegangenen Unterabschnitt für n = 2 und n = 3 gezeigt wurde: Besitzt f(x) eine Darstellung gemäß Gleichung (1) und (2), so können die Hilfsfunktionen aus Gleichung (3) verwendet werden, um die Darstellung nach Gleichung (4) und (5) zu berechnen. Dazu muss natürlich vorausgesetzt werden, dass f(x) genügend oft stetig differenzierbar ist.

Abbildung 5: Formulierung der Aussage, wonach sich die Funktion f(x) als Summe eines Taylor-Polynoms und eines Restgliedes darstellen lässt. Dazu muss, f(x) oft genug stetig differenzierbar sein.

In Abbildung 6 wird gezeigt, wie die partielle Integration durchgeführt wird.

Abbildung 6: Die Beweisidee für die Aussage aus Abbildung 5 besteht darin, das Restglied mit einer geeigneten partiellen Integration so umzuformen, dass der führende des nächsten Taylor-Polynoms entsteht sowie ein neues Restglied in Integraldarstellung.

Beispiel: Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl

Als erste einfache Anwendung der Integraldarstellung des Restgliedes soll die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion f(x) = exp(x) verwendet werden, um eine Näherung für die Eulersche Zahl e zu berechnen. In Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele wurde das Taylor-Polynom der Exponentialfunktion zum Entwicklungspunkt x₀ berechnet, es ist in Abbildung 7 Gleichung (1) gezeigt. Das Taylor-Polynom soll jetzt an der Stelle x = 1 ausgewertet werden; wenn es eine gute Näherung für die Exponentialfunktion bildet, kann man damit eine Näherung der Eulerschen Zahl e = exp(1) berechnen. Und wenn es zudem gelingt, das Restglied zu berechnen oder abzuschätzen, kann man eine quantitative Aussage darüber machen, wie "gut" die berechnete Näherung ist.

In Abbildung 7 werden die zugehörigen Rechnungen gezeigt:

1. Das Restglied in Integraldarstellung wie es oben hergeleitet wurde, wenn für f(x) die Exponentialfunktion eingesetzt wird (Gleichung (2) und (3).
2. Speziell für x = 1 berechnet das Taylor-Polynom die Näherung für die Eulersche Zahl e = exp(1). Im zugehörigen Restglied wird dann von 0 bis 1 integriert (siehe Gleichung (4)).
3. Die Integranden r_n(t) werden in Gleichung (5) explizit angegeben und später für verschiedene Ordnungen graphisch dargestellt (siehe Abbildung 8).
4. Die Eigenschaften von r_n(t) (siehe Gleichung (6)) können verwendet werden, um das Restglied R_n(1) abzuschätzen (siehe Gleichung (7)).
5. Damit kann man explizit angeben, wie gut die Approximation der Eulerschen Zahl durch das Taylor-Polynom p_n(1) ist.

Abbildung 7: Berechnung des Restgliedes in Integraldarstellung, wenn eine Näherung der Eulerschen Zahl mit Hilfe des Taylor-Polynoms der Exponentialfunktion berechnet wird. Aus den Eigenschaften des Integranden kann man leicht eine grobe Abschätzung für den Fehler der Approximation finden.

Abbildung 8 zeigt die Integranden r_n(t) für die Ordnungen n = 2, 4, ..., 16 im relevanten Intervall von 0 bis 1. Man kann erkennen, dass die Abschätzung nach Gleichung (7) in Abbildung 7 sehr grob ist und deutlich verbessert werden könnte.

Weiter ist zu beachten, dass die y-Achsen unterschiedlich skaliert sind, wodurch ein direkter Vergleich der Graphen erschwert wird. (Nach Gleichung (6) in Abbildung 7 stimmt r_n(0) mit 1/n! überein, so dass die Wertebereiche der Integranden r_n(t) schnell schrumpfen.)

Abbildung 8: Graphische Darstellung der Integranden aus dem Restglied für verschiedene Ordnungen. Man kann an den Graphen leicht die in Abbildung 7 angegebenen Eigenschaften der Integranden nachvollziehen.

Aufgaben

Zur Stammfunktion von ln x

Zeigen Sie durch Ableitung, dass in Abbildung 1 tatsächlich die Stammfunktion von ln x berechnet wurde.

Zeigen Sie, dass man in Gleichung (5) in Abbildung 1 anstelle von H(t) = t auch jede andere Funktion H(t) = t + C verwenden kann (C ist eine beliebige reelle Konstante).

Induktionsbeweis für die Darstellung des Restgliedes

In den Ableitungen 5 und 6 wurde die zentrale Aussage über die Integraldarstellung des Restgliedes formuliert:

Mit Hilfe der partiellen Integration kann man zeigen, dass sich eine Funktion f(x) – sofern sie oft genug stetig differenzierbar ist – in der Form

f(x) = p_n(x) + R_n(x)

darstellen, wobei p_n(x) das Taylor-Polynom n-ter Ordnung ist und das Restglied R_n(x) gemäß Gleichung (1) in Abbildung 6 berechnet wird.

Die Beweisidee (nämlich Durchführen der partiellen Integration, so dass der nächste Beitrag zum Taylor-Polynom entsteht) wurde in Abbildung 6 gezeigt.

1. Führen Sie den Beweis aus, indem Sie Beweismethode vollständige Induktion anwenden.
2. Wie lautet dann der Induktionsanfang?

Darstellung des Restgliedes bei beliebigem Entwicklungspunkt

Bisher wurde immer x₀ = 0 als Entwicklungspunkt gewählt. Formulieren Sie die entsprechende Aussage über die Darstellung des Restgliedes (aus Abbildung 5) für einen beliebigen reellen Entwicklungspunkt x₀.

Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl

Berechnen Sie eine Näherung der Eulerschen Zahl e wie in Abbildung 7 für die Ordnung n = 10. Berechnen Sie zudem die Abschätzung für den Fehler und die exakte Abweichung der Näherung von der Eulerschen Zahl.

Ergebnisse:

Näherungsweise Berechnung von ln 2

Berechnen Sie eine Näherung für ln 2 mit Hilfe des Taylor-Polynoms 10. Ordnung für ln(1+x), das in Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele hergeleitet wurde.

Versuchen Sie das Restglied zu berechnen und den Fehler der Approximation abzuschätzen.

Veranschaulichen Sie die Integranden des Restgliedes analog zu Abbildung 8.