Die Herleitung der Stirling-Approximation mit der Laplace-Methode

Das asymptotische Verhalten der FakultĂ€t n! wird in sehr guter NĂ€herung durch die Stirling-Approximation beschrieben. Sie wird hier durch die sogenannte Laplace-Methode hergeleitet. Dabei wird die FakultĂ€t mit Hilfe der Gamma-Funktion ausgedrĂŒckt; das uneigentliche Integral wird durch geeignete Umformungen und NĂ€herungen berechnet. Die GĂŒte der Approximation wird nicht untersucht, aber es werden alle Rechenschritte erlĂ€utert und die Zwischenergebnisse veranschaulicht.
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Einordnung des Artikels

Als mathematische Voraussetzungen werden hier verwendet, aber nicht erlĂ€utert: Integralrechnung, insbesondere uneigentliche Integrale, die Substitutionsregel und Gauß-Integrale.

Letztere werden in Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung ausfĂŒhrlich behandelt.

EinfĂŒhrung

Möchte man die FakultĂ€ten n! von großen natĂŒrlichen Zahl n berechnen, so ist man hĂ€ufig nicht an dem konkreten Zahlenwert interessiert, sondern an dem asymptotischen Verhalten von n!. Damit ist gemeint, dass man eine kontinuierliche Funktion F(n) sucht (F soll hier an FakultĂ€t erinnern), die fĂŒr große n ein Ă€hnliches Verhalten zeigt wie n!. Berechnet man n! fĂŒr kleine Werte von n (etwa bis zur GrĂ¶ĂŸenordnung von n = 100), so ist nicht klar, welches asymptotische Verhalten die Funktion F(n) haben wird:

  • WĂ€chst sie mit einer Potenz von n? Wenn ja mit welcher?
  • WĂ€chst sie schneller als mit einer Potenz, zum Beispiel exponentiell?
  • Oder wĂ€chst sie sogar schneller als eine Exponentialfunktion?

Die bekannteste NĂ€herung fĂŒr die FakultĂ€t n! ist die Stirling-Approximation, die eine Funktion F(n) angibt, die man auch fĂŒr n weit jenseits der GrĂ¶ĂŸenordnung n = 100 leicht berechnen kann. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten die Stirling-Approximation F(n) der FakultĂ€t zu berechnen. Hier wird die sogenannte Laplace-Methode gezeigt, die weitreichende Anwendungen besitzt. Sie wurde von Laplace entwickelt, um NĂ€herungen fĂŒr eine Laplace-Transformation zu berechnen. Die hier gezeigte Herleitung der Stirling-Approximation ist somit ein Spezialfall dieser allgemeineren Methode.

Die Laplace-Methode (im allgemeinenen Sinn) wird hier nicht ausfĂŒhrlich vorgestellt. Sie wird nur verwendet, um die Stirling-Approximation herzuleiten. Ebenso wird hier nicht diskutiert, in welchem Sinn die NĂ€herungsfunktion F(n) die FakultĂ€t n! approximiert. Dazu mĂŒssten die entsprechenden Konvergenzbegriffe eingefĂŒhrt und erlĂ€utert werden, was hier nicht geschehen soll.

Übersicht ĂŒber die Vorgehensweise

Die Herleitung der Funktion F(n), die asymptotisch mit der FakultĂ€t n! ĂŒbereinstimmt, geschieht in mehreren Schritten:

  1. Die FakultĂ€t wird mit Hilfe der Gamma-Funktion Γ(x) ausgedrĂŒckt. Die Gamma-Funktion ist nicht nur fĂŒr natĂŒrliche n, sondern fĂŒr reelle x definiert; sie verallgemeinert somit die FakultĂ€t. FĂŒr natĂŒrliche Zahlen n gilt: Γ(n+1) = n!.
  2. Die Gamma-Funktion Γ(x) ist definiert durch ein Integral, das vom Parameter x abhĂ€ngt; der Integrand ist das Produkt einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion.
  3. Durch geeignete Substitutionen wird das Integral zur Berechnung von n! so umgeformt, dass nur noch eine Exponentialfunktion ĂŒber y integriert wird, nĂ€mlich exp(-n·f(y)). Dabei ergibt sich die Funktion f(y) aus den genannten Substitutionen.
  4. Auf dieses Integral wird die sogenannte Laplace-Methode angewendet; diese besteht aus den folgenden Schritten:
    1. Die Funktion f(y) besitzt bei y0 = 1 ein eindeutiges Minimum.
    2. Aufgrund der speziellen Gestalt des Integranden exp(-n·f(y) liefern die y-Werte aus der Umgebung von y0 den Hauptbeitrag zum Integral.
    3. Daher wird die Funktion f(y) in ihre Taylor-Reihe entwickelt und durch die Approximation bis zur zweiten Ordnung erstetzt.
    4. Im dabei entstehenden Integral wird der Integrationsbereich auf alle reellen Zahlen erweitert. Es entsteht ein Gauß-Integral, das leicht ausgewertet werden kann.

Da im Endergebnis immer noch der Parameter n enthalten ist, hat man eine Funktion F(n) hergeleitet, die zur Approximation der FakultÀt n! verwendet werden kann.

In Abbildung 1 wird versucht, die wichtigsten Rechenschritte und Zwischenergebnisse in einem Diagramm darzustellen; sie werden im Folgenden ausfĂŒhrlich erlĂ€utert und die Graphen der relevanten Funktionen werden gezeigt. Die blauen Pfeile in in Abbildung 1 stehen fĂŒr Rechenschritte, bei denen eine NĂ€herung gemacht wird, rote Pfeile symbolisieren Umformungen ohne NĂ€herungen.

Abbildung 1: Übersicht ĂŒber die Herleitung der Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t mit Hilfe dr Laplace-Methode.Abbildung 1: Übersicht ĂŒber die Herleitung der Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t mit Hilfe dr Laplace-Methode.

Die Berechnung der Stirling-Approximation

Die Gamma-Funktion

Die Gamma-Funktion wird als ein uneigentliches Integral nach Gleichung (1) in Abbildung 2 definiert. Man kann leicht zeigen, dass fĂŒr x > 0 das Integral existiert. Die Eigenschaften der Gamma-Funktion sollen hier nicht ausfĂŒhrlich diskutiert werden; die Aufgaben unten enthalten einige Andeutungen.

Wichtig zur Berechnung der Stirling-Approximation der FakultÀt sind folgende Eigenschaften der Gamma-Funktion:

  1. Die Gamma-Funktion erfĂŒllt die Rekursionsformel, die auch von der FakultĂ€t erfĂŒllt wird (siehe Gleichung (3) in Abbildung 2).
  2. Setzt man in die Definition der Gamma-Funktion fĂŒr x natĂŒrliche Zahlen ein, stimmen die uneigentlichen Integrale mit den FakultĂ€ten ĂŒberein (siehe Gleichung (4) in Abbildung 2).

Abbildung 2: Die Definition der Gamma-Funktion sowie ihre Eigenschaften, die benötigt werden, um die Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t zu berechnen.Abbildung 2: Die Definition der Gamma-Funktion sowie ihre Eigenschaften, die benötigt werden, um die Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t zu berechnen.

Aufgaben:

1. Zeigen Sie, dass die Gamma-Funktion die Rekursionsformel (3) in Abbildung 2 erfĂŒllt.

2. Welche Integrale entstehen, wenn man die Gamma-Funktion nach Gleichung (1) explizit fĂŒr natĂŒrliche Zahlen x = 1, 2, ... berechnet. Kann man diese Integrale explizit berechnen?

3. Welche Integrale entstehen, wenn man die Gamma-Funktion nach Gleichung (1) explizit fĂŒr die Zahlen x = 1/2, 3/2, ... berechnet. Kann man diese Integrale explizit berechnen?

4. Skizzieren Sie die Integranden aus Gleichung (1) in Abbildung 2 fĂŒr die Zahlen x aus der 2. und 3. Aufgabe.

5. Zeigen Sie dass man den Definitionsbereich der Gamma-Funktion in der Darstellung nach Gleichung (1) problemlos auf x > -1 erweitern kann.

Vorbereitungen zur Anwendung der Laplace-Methode

Der Ausgangspunkt fĂŒr die Berechnung der Stirling-Approximation der FakultĂ€t ist die Darstellung der Gamma-Funktion nach Gleichung (1) in Abbildung 2. Durch geeignete Substitutionen wird das Integral auf die Gestalt (9) in Abbildung 3 gebracht. Die Rechenschritte sind in Abbildung 3 dargestellt:

  1. Gleichung (1) aus Abbildung 2 wird verwendet, um die FakultÀt n! zu berechnen (siehe Gleichung (1) in Abbildung 3).
  2. Im Faktor tn wird die Basis t beseitigt (siehe Gleichung (1) in Abbildung 3).
  3. Der Integrand wird als Exponentialfunktion geschrieben, wobei der Faktor exp(-n) vorgezogen wird (siehe Gleichungen (2) und (3) in Abbildung 3).
  4. Durch die Substitution y = t/n nach Gleichung (4) wird das Integral in eine Integration ĂŒber y verwandelt. Ziel der Substitution ist es, als Integranden eine Funktion in der folgenden Form zu erzeugen:

exp(-n·f(y))

mit einer geeigneten Funktion f(y), siehe Gleichung (9) in Abbildung 3. Die Rechenschritte (siehe Gleichung (5 - 8) in Abbildung 3) beinhalten die Rechengesetze fĂŒr die Exponential- und Logarithmusfunktion.

Abbildung 3: Darstellung der Gamma-Funktion durch ein Integral (bezĂŒglich y) ĂŒber eine Funktion exp(-n·f(y) durch eine geeignete Substitution.Abbildung 3: Darstellung der Gamma-Funktion durch ein Integral (bezĂŒglich y) ĂŒber eine Funktion exp(-n·f(y) durch eine geeignete Substitution.

Die Laplace-Methode beruht darauf, das Integral in Gleichung (9) abzuschÀtzen, wobei die Funktion f(y) ein eindeutiges Minimum besitzen muss. Die folgenden Unterabschnitte diskutieren die Eigenschaften der Funktion f(y) und die AbschÀtzung des Integrals.

Die Eigenschaften der Funktion f(y) im Integranden

In Abbildung 3 wurde das uneigentliche Integral zur Berechnung der Gamma-Funktion mit Hilfe einer Funktion

f(y) = y - ln y

dargestellt. In Abbildung 4 werden ihre Eigenschaften untersucht. FĂŒr die Laplace-Methode ist entscheidend, dass f(y) ein eindeutiges Minimum besitzt.

Abbildung 4 zeigt den Nachweis, dass die Funktion f bei y0 = 1 ein Minimum besitzt (siehe Gleichung (2 - 4)). Weiter wird die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung angegeben (bei Entwicklung um y0 = 1; siehe Gleichung (5)).

Abbildung 4: Eigenschaften der Funktion f(y) = y - ln y. FĂŒr die Anwendung der Laplace-Methode ist wichtig, dass f(y) ein eindeutiges Minimum besitzt.Abbildung 4: Eigenschaften der Funktion f(y) = y - ln y. FĂŒr die Anwendung der Laplace-Methode ist wichtig, dass f(y) ein eindeutiges Minimum besitzt.

Abbildung 5 zeigt den Plot der Funktion f(y) = y - ln y (rot). Weiter eingetragen sind: die beiden Summanden, aus denen sich die Funktion f(y) zusammensetzt (die Ursprunsgerade mit Steigung 1 blau und der natĂŒrliche Logarithmus grĂŒn) sowie die Taylor-Reihe von f bis zur zweiten Ordnung (wobei um y0 = 1 entwickelt wird, tĂŒrkisfarben).

Abbildung 5: Plot der Funktion f(y), ihrer Summanden sowie der Taylor-Entwicklung bis zur zweiten OrdnungAbbildung 5: Plot der Funktion f(y), ihrer Summanden sowie der Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung

Die nÀherungsweise Berechnung der Gamma-Funktion

Zuletzt wurde die Funktion f(y) in eine Taylor-Reihe entwickelt (um ihr Minimum y0). Die eigentliche Laplace-Methode besteht jetzt darin, das Integral aus Gleichung (9) in Abbildung 3 nÀherungsweise zu berechnen. SÀmtliche Rechenschritte sind in Abbildung 5 dargestellt.

  1. Die Funktion f(y) wird durch ihre Taylor-Reihe (2. Ordnung) ersetzt (siehe Gleichung (1 - 4) in Abbildung 5).
  2. Die Stelle y0, bei der die Funktion f(y) ihr Minimum annimmt, befindet sich im Inneren des Integrationsbereiches. Der Integrand aus Gleichung (9) in Abbildung 3 besitzt daher bei y0 ein Maximum.
  3. FĂŒr sehr große n wird dieses Maximum sehr scharf und nur in einer kleinen Umgebung von y0 entstehen die relevanten BeitrĂ€ge zum Integral. Es sollte daher keinen großen Unterschied machen, wenn man den Integrationsbereich auf alle reellen Zahlen ausdehnt, siehe Gleichung (5). Durch eine weitere Substitution (siehe Gleichung (6) und (7) in Abbildung 5) man erhĂ€lt ein Gaußintegral, das explizit berechnet werden kann, siehe Gleichung (7).

Abbildung 6: Umwandlung in ein Gauß-Integral und Berechnung des Gauß-Integrals.Abbildung 6: Umwandlung in ein Gauß-Integral und Berechnung des Gauß-Integrals.

Gleichung (9) zeigt jetzt das Endergebnis der Berechnung: die Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t.

Aufgabe:

Schreiben Sie die rechte Seite der Stirling-Approximation (Gleichung (9) in Abbildung 6) als Exponentialfunktion (zur Basis e) und diskutieren Sie, wie die dadurch entstehende Funktion von n abhÀngt.

Veranschaulichung der relevanten Integranden

Oben wurde die Laplace-Methode zur Berechnung der Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t gezeigt. Die Rechenschritte sollen nochmals erlĂ€utert werden; dazu werden die relevanten Integrale nĂ€her betrachtet und die Integranden dargestellt:

  1. Der Integrand der Gamma-Funktion: siehe Gleichung (1) in Abbildung 7 und die Graphen in Abbildung 8.
  2. Der Integranden aus Gleichung (9) in Abbildung 3: Er entsteht, wenn im Integral der Gamma-Funktion eine Substitution durchgefĂŒhrt wird: Die Substitution wird dabei so gewĂ€hlt, dass ein Integrand entsteht, so dass nahezu alle BeitrĂ€ge zum Integral aus einem kleinen Bereich um das Minimum der Funktion f(x) = x - ln x stammen. Siehe Gleichung (2) in Abbildung 7 und die Graphen in Abbildung 9.
  3. Der Integrand aus Gleichung (5) in Abbildung 6. Jetzt wurde die Funktion f(x) = x - ln x in eine Taylor-Reihe entwickelt: siehe Gleichung (3) in Abbildung 7 und die Graphen in Abbildung 10.
  4. Der Integrand aus Gleichung (5) in Abbildung 6. Dazu wurde ein Gauß-Integral erzeugt, indem der Integrand verschoben (er ist jetzt symmetrisch zur y-Achse) und skaliert wurde (in der von x abhĂ€ngigen Exponentialfunktion tritt kein n mehr auf). siehe Gleichung (4) in Abbildung 7 und die Graphen in Abbildung 11.

Abbildung 7: Die relevanten Integranden aus den Integralen der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! beziehungsweise der NĂ€herungen gemĂ€ĂŸ der Laplace-Methode fĂŒr n = 1, 2,..., 8.Abbildung 7: Die relevanten Integranden aus den Integralen der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! beziehungsweise der NĂ€herungen gemĂ€ĂŸ der Laplace-Methode fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

Es wurde mehrmals betont, dass die Stirling-Approximation verwendet wird, um die FakultĂ€t n! fĂŒr große n zu berechnen. In den folgenden Abbildungen werden aber sehr kleine n eingesetzt (n = 1, 2, ..., 8). Aber selbst hier lĂ€sst sich nachvollziehen, wie die Laplace-Methode arbeitet und wie ein Integral entsteht, so dass die zu berechnende FlĂ€che in einem kleinen Intervall konzentriert ist.

Der Integrand der Gamma-Funktion

Zur Berechnung der FakultÀten

n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8

mit Hilfe der Gamma-Funktion Γ(n+1) Gleichung (1) aus Abbildung 2 mĂŒssen die Integranden

gn(x) = xn·e-x, fĂŒr n = 1, 2,..., 8

betrachtet werden (jetzt mit x als Variable, siehe auch Gleichung (1) in Abbildung 7). Diese Integranden sind in Abbildung 8 dargestellt. Die Funktion xn ist streng monoton ansteigend und geht gegen unendlich fĂŒr x → ∞. Dagegen ist die Funktion e-x streng monoton abnehmend und geht gegen null fĂŒr x → ∞. Als Produkt entsteht eine Funktion mit einem eindeutigen Maximum (Ausnahme ist hier n = 1). Die FlĂ€che unter der Kurve entspricht der FakultĂ€t n!. Mit "FlĂ€che" ist hier das uneigentliche Integral gemeint, wenn die Integrationsvariable die Werte von 0 bis ∞ durchlĂ€uft.

Abbildung 8: Integranden der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8.Abbildung 8: Integranden der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

Man erkennt, dass das Maximum von gn(x) fĂŒr zunehmende n sehr breit wird wird und das Intervall, das den Großteil zum Integral beitrĂ€gt, mit n anwĂ€chst. Schwerer zu erkennen ist (aufgrund der unterschiedlichen Skalierungen), dass die Funktionswerte beim Maximum mit n stark ansteigen.

Aus den Abbildungen lĂ€sst sich natĂŒrlich nicht ersehen, wie die FakultĂ€ten n! von n abhĂ€ngen. Aber der Vergleich der Funktionen aus Abbildung 8 mit den Integranden nach der Substitution beziehungsweise Einsetzen der Taylor-Reihe wird die Laplace-Methode besser veranschaulichen.

Der Integrand der Gamma-Funktion nach der Substitution

In Abbildung 3 wurde gezeigt, wie das Integral der Gamma-Funktion durch eine Substitution umgeformt wurde (siehe Gleichung (9) in Abbildung 3); jetzt lautet der Integrand zur Berechnung von Γ(n+1) = n! (wieder als Funktion von x; siehe auch Gleichung (2) in Abbildung 7):

fn(x) = nn+1·exp(-n(x - ln x), fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

In Abbildung 9 werden diese Integranden dargestellt.

Abbildung 9: Integranden der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8 nach der Substitution.Abbildung 9: Integranden der Gamma-Funktion zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8 nach der Substitution.

Die Abbildungen sind wieder schwer miteinander zu vergleichen, da die Skalierungen an die Funktionswerte angepasst wurde. Aber im Vergleich zu Abbildung 8 erkennt man:

  1. Die Funktionen besitzen immer noch ein eindeutiges Maximum. Jetzt aber unabhÀngig von n immer bei x = 1.
  2. Die Funktionswerte beim Maximum wachsen schnell mit n an.
  3. Aber die Funktionswerte, die den grĂ¶ĂŸten Beitrag zum Integral liefern, sind sehr nahe um das Maximum bei x = 1 konzentriert. Qualitativ besitzen die Integranden eine nahezu identische Breite (wie immer man diese "Breite" definiert).

Es soll aber nochmals betont werden: Bisher wurde keine NĂ€herung verwendet. Durch die Substitution wird das Integral lediglich transformiert, der Wert des Integrals liefert immer noch den exakten Wert fĂŒr die FakultĂ€t.

NĂ€herung: Der Integrand nach dem Einsetzen der Taylor-Entwicklung

Die Integranden aus Abbildung 9 werden jetzt approximiert. Dazu wird die Funktion x - ln x um ihr Minimum (bei x = 1) in die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung entwickelt (zur Veranschaulichung: siehe Abbildung 5) und in das Argument der Exponentialfunktion eingesetzt.

Das heißt die Funktion

f(x) = x - ln x

wird bei x = 1 in eine Taylor-Reihe entwickelt, wodurch eine quadratische Funktion entsteht:

f(x) = x - ln x ≈ 1 + (x - 1)2/2.

Anstelle der Integranden fn(x) erhÀlt man jetzt (siehe Gleichung (3) in Abbildung 7):

hn(x) = nn+1·exp(-n)·exp(-n·(x - 1)2/2), fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

Die Funktionen hn(x) werden in Abbildung 10 dargestellt.

Abbildung 10: Integranden nach Einsetzen der Taylor-Reihe zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8.Abbildung 10: Integranden nach Einsetzen der Taylor-Reihe zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

Vergleicht man diese Graphen mit denen aus Abbildung 9, so erkennt man:

  1. Der Definitionsbereich ist jetzt nicht mehr auf die positiven reellen Zahlen beschrÀnkt, sondern kann auf die gesamten reellen Zahlen ausgedehnt werden.
  2. Die Integranden in Abbildung 9 und Abbildung 10 besitzen jeweils ein eindeutiges Maximum. Da die Taylor-Entwicklung um das Minimum von f(x) = x - ln x zur NÀherung verwendet wurde, ist die Lage des Maximums jeweils unverÀndert.
  3. Aber da die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung eine quadratische Funktion ist, entstehen in Abbildung 10 Funktionen, die zu x = 1 achsensymmetrisch sind.
  4. Da die einzelnen Diagramme wieder unterschiedlich skaliert sind, ist es schwer die einzelnen Graphen miteinander zu vergleichen. Bei genauerer Betrachtung erkennt man aber, dass mit zunehmendem n die Graphen schlanker werden und somit der Hauptbeitrag zum Integral ĂŒber die Funktion aus einem kleinen Bereich um das Maximum stammt.
  5. Wie gut die Approximation der Integranden aus Abbildung 9 nach dem Einsetzen der Taylor-Entwicklung ist, lÀsst sich hier nur schwer ablesen; einen besseren Vergleich werden die Abbildungen weiter unten liefern, in denen dann die Graphen aus Abbildung 9 und 10 gemeinsam dargestellt werden.

Die Funktionen hn(x) beinhalten eine Exponentialfunktion, in der sowohl der Parameter n als auch die Variable x vorkommen. Die Berechnung der Integrale ĂŒber die Funktionen hn(x) wird ĂŒbersichtlicher, wenn man stattdessen eine Produktdarstellung finden kann, in der ein Faktor nur von n und der andere nur von x abhĂ€ngt. Dazu wird eine weitere Substitution durchgefĂŒhrt (siehe Gleichung (6) in Abbildung 6), wodurch sich der von n abhĂ€ngige Faktor komplett vor das Integral ziehen lĂ€sst und ein von n unabhĂ€ngiges Gauß-Integral entsteht. Durch die Substitution entstehen Funktionen kn(x), die in Gleichung (7) in Abbildung 6 und Gleichung (4) in Abbildung 7 gezeigt sind:

kn(x) = nn+1/2·exp(-n)·exp(-x2/2), fĂŒr n = 1, 2,..., 8.

Gauß-Integrale werden hier nicht besprochen; ihre Berechnung wird in Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung ausfĂŒhrlich gezeigt.

Abbildung 11 zeigt die Integranden nachdem die Funktionen hn(x) in Gaußsche Glockenkurven verwandelt wurden, die zu x = 0 achsensymmetrisch sind.

Abbildung 11: Integranden nach Einsetzen der Taylor-Reihe zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8 und einer weiteren Substitution, die Gaußsche Glockenkurven erzeugt, die zu x = 0 achsensymmetrisch sind.Abbildung 11: Integranden nach Einsetzen der Taylor-Reihe zur Berechnung von n! fĂŒr n = 1, 2,..., 8 und einer weiteren Substitution, die Gaußsche Glockenkurven erzeugt, die zu x = 0 achsensymmetrisch sind.

Aufgabe: Die Graphen in den Abbildungen 9 und 10 besitzen offensichtlich jeweils zwei Wendepunkte. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.

Kann man die "Breite" der Funktionen durch den Abstand der Wendepunkte in x-Richtung definieren? Wie hĂ€ngt diese Breite fĂŒr die Funktionen hn(x) und kn(x) von n ab? Gegen welchen Wert geht diese Breite fĂŒr n → ∞?

Vergleich der Integranden vor und nach der Taylor-Entwicklung

Der entscheidende Schritt in der Berechnung der Stirling-Approximation fĂŒr die FakultĂ€t ist somit die Taylor-Entwicklung der Funktion

f(x) = x - ln x

bis zur zweiten Ordnung, denn er ermöglicht es, das Integral der Gamma-Funktion durch ein Gauß-Integral zu approximieren. Die Integranden vor und nach der Taylor-Entwicklung sind in Abbildung 9 und 10 dargestellt, also die Graphen der Funktionen fn(x) und hn(x).

Abbildung 12 zeigt jetzt fĂŒr die Werte n = 1, 2,..., 8 die Funktionen fn(x) (blau) und hn(x) (dunkelrot) in jeweils einem Diagramm.

Abbildung 12: Die Integranden f<sub>n</sub>(x) (blau) und h<sub>n</sub>(x) (rot) fĂŒr n = 1, 2,..., 8 vor und nach der Taylor-Entwicklung von f(x) = x - ln x.Abbildung 12: Die Integranden fn(x) (blau) und hn(x) (rot) fĂŒr n = 1, 2,..., 8 vor und nach der Taylor-Entwicklung von f(x) = x - ln x.

Man erkennt, dass fĂŒr kleine Werte von n noch deutliche Unterschiede betsehen. Aber schon bei n = 8 sind in der gezeigten Skalierung die Graphen nur bei kleinen Funktionswerten zu unterscheiden. Insbesondere erkennt man, dass die "Breite" der Funktionen (also der Abstand der Wendepunkte in x-Richtung) nahezu identisch sein muss.

In Abbildung 13 und 14 werden dann die entsprechenden Graphen fĂŒr n = 20 beziehungsweise n = 100 gezeigt. ZusĂ€tzlich ist die Gaußsche Glockenkurve gezeigt (tĂŒrkisfarben), die bei der letzten Substitution entsteht (Übergang von hn(x) zu kn(x)).

Abbildung 13: Die Integranden aus Abbildung 12 fĂŒr n = 20. ZusĂ€tzlich ist der Integrand nach der letzten Substitution gezeigt (tĂŒrkisfarben).Abbildung 13: Die Integranden aus Abbildung 12 fĂŒr n = 20. ZusĂ€tzlich ist der Integrand nach der letzten Substitution gezeigt (tĂŒrkisfarben).

Abbildung 14: Die Integranden aus Abbildung 12 fĂŒr n = 100. ZusĂ€tzlich ist der Integrand nach der letzten Substitution gezeigt (tĂŒrkisfarben).Abbildung 14: Die Integranden aus Abbildung 12 fĂŒr n = 100. ZusĂ€tzlich ist der Integrand nach der letzten Substitution gezeigt (tĂŒrkisfarben).