Schlagwort: geometrische Verteilung

Interpretation der Zufallsexperimente Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen durch Pfade auf einem Gitter

Die Zufallsexperimente Ziehen mit Zurücklegen beziehungsweise Ziehen ohne Zurücklegen werden umformuliert in eine Zufallsbewegung auf einem Gitter. Dadurch lassen sich viele Herleitungen besser veranschaulichen. Gezeigt wird dies hier für die Verteilungen der Zufallsvariablen, die die Anzahl der Treffer oder die Wartezeit bis zu einem bestimmten Treffer beschreiben.

Wartezeitprobleme beim Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen

Es werden die Wartezeitprobleme bei den beiden Zufallsexperimenten Ziehen mit Zurücklegen beziehungsweise Ziehen ohne Zurücklegen untersucht. Bei diesen Zufallsexperimenten befinden sich in einer Urne Treffer und Nieten. Mit Wartezeitproblem ist gemeint, dass man eine Zufallsvariable definiert, die angibt nach wie vielen Zügen der r-te Treffer aus der Urne entnommen wird. Zur Vorbereitung werden die Zusammenhänge zwischen Binomialverteilung, geometrischer Verteilung und hyper-geometrischer Verteilung gezeigt.

Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Lösung von Wartezeitproblemen mit Hilfe der geometrischen Verteilung

Die geometrische Verteilung kann als Verteilung von Wartezeiten aufgefasst werden, wenn man einen Münzwurf solange wiederholt bis der erste Treffer eintritt: man berechnet die Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der nötigen Würfe. Man kann dieses Wartezeitproblem verallgemeinern, indem man nicht bis zum ersten sondern bis zum r-ten Treffer wartet. Die Verteilung dieser Wartezeiten wird berechnet und die Eigenschaften der dabei entstehenden Verteilung wird untersucht.

Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung wird verwendet, um Wartezeiten zu modellieren. Die grundlegenden Eigenschaften wie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, die Verteilungsfunktion und insbesondere der Zusammenhang zur Binomialverteilung und die sogenannte Gedächtnislosigkeit werden besprochen.

Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung

Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.

Eigenschaften von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die wichtigste Kennzahl, um Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu beschreiben. Seine Definition und Eigenschaften werden ausführlich erläutert. An zahlreichen Beispielen wird seine Berechnung vorgeführt; dabei werden nebenbei wichtige Wahrscheinlichkeits-Verteilungen vorgestellt.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Diskrete und stetige Zufallsvariablen

Zufallsvariablen können diskrete oder kontinuierliche Werte annehmen. Die mathematische Beschreibung unterscheidet sich, da die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariable entweder mit Folgen oder indirekt über eine Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben werden. Diese Beschreibung wird an speziellen Verteilungen demonstriert: diskrete Gleichverteilung, Poisson-Verteilung, kontinuierliche Gleichverteilung, Standard-Normalverteilung.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Axiome von Kolmogorov

Die fundamentalen Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nämlich Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum und die Axiome von Kolmogorov, werden formuliert. Es werden einige einfache Anwendungen und Skripte für Simulationen von Zufallsexperimenten gezeigt.