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Gewähltes Stichwort:
Erwartungswert
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Lösung von Wartezeitproblemen mit Hilfe der geometrischen Verteilung
Die geometrische Verteilung kann als Verteilung von Wartezeiten aufgefasst werden, wenn man einen Münzwurf solange wiederholt bis der erste Treffer eintritt: man berechnet die Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der nötigen Würfe. Man kann dieses Wartezeitproblem verallgemeinern, indem man nicht bis zum ersten sondern bis zum r-ten Treffer wartet. Die Verteilung dieser Wartezeiten wird berechnet und die Eigenschaften der dabei entstehenden Verteilung wird untersucht.
walter
Mittel
12 Sep. 2022
0
Varianz
diskrete Zufallsvariable
Wartezeit
geometrische Reihe
Erwartungswert
Baumdiagramm
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Standardabweichung
Binomialkoeffizient
Faltung
geometrische Verteilung
Zufallsvariable
geometrische Folge
Unabhängigkeit
Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung
Die Jensensche Ungleichung liefert eine Abschätzung zwischen der Anwendung einer Funktion auf eine konvexe Kombination beziehungsweise der konvexen Kombination der Funktionswerte. Je nachdem, ob die Funktion konvex oder konkav ist, erhält man ein anderes Ungleichheitszeichen zwischen den genannten Termen. Im Folgenden werden die zum Beweis der Jensenschen Ungleichung nötigen Eigenschaften von konvexen Funktionen erläutert, die Jensensche Ungleichung formuliert und bewiesen und einige Anwendungen gezeigt (Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf Erwartungswerte von Zufallsvariablen).
walter
Mittel
8 Feb. 2022
0
arithmetisches Mittel
konkave Funktion
diskrete Zufallsvariable
konvexe Funktion
Zufallsvariable
konkav
konvex
Erwartungswert
Konvexkombination
Jensensche Ungleichung
geometrisches Mittel
Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele
Die Definition der Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder einer Zufallsvariable wird an einfachen Beispielen erläutert. Es wird diskutiert, dass die Entropie kein Streuungsmaß ist (wie die Standardabweichung), sondern die Ungewissheit (oder Unbestimmtheit) des Ausgangs eines Zufallsexperimentes beschreibt.
walter
Anfänger
4 Dez. 2021
0
Varianz
diskrete Zufallsvariable
Erwartungswert
Konvexität
Elementarereignis
Wahrscheinlichkeitsmaß
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Entropie
Ungewissheit
Standardabweichung
Ergebnisraum
Wahrscheinlichkeitsraum
Zufallsvariable
Streuungsmaß
Simplex
Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen mit Hilfe von Indikatorvariablen
Die Methode, den Erwartungswert einer Zufallsvariable X mit Hilfe von Indikatorvariablen zu berechnen, ist deshalb so wichtig, weil man dazu die Verteilung von X nicht kennen muss. Die eigentliche Schwierigkeit besteht oft darin, geeignete Indikatorvariablen zu finden. An mehreren Beispielen (Münzwurf, hypergeometrische Verteilung und einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung) wird dieses Vorgehen demonstriert. Da man Varianzen auf Erwartungswerte zurückführen kann, lassen sich mit dieser Methode auch Varianzen und Standardabweichungen berechnen.
walter
Mittel
27 Jul. 2021
0
Indikatorvariable
Standardabweichung
Varianz
Ziehen ohne Zurücklegen
hypergeometrische Verteilung
diskrete Zufallsvariable
Zufallsvariable
Erwartungswert
Ziehen mit Zurücklegen
Indikatorfunktion
Summe von Zufallsvariablen
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen n Treffer aus einer Urne gezogen werden; dazu befinden sich in der Urne anfangs L Treffer und K Nieten und es werden N Lose entnommen. Die Abhängigkeit der Verteilung von den drei Parametern K, L und N erschwert den Zugang zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Es werden zwei - natürlich gleichwertige - Methoden gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeiten berechnet.
walter
Mittel
13 Jul. 2021
0
Standardabweichung
Varianz
Ziehen ohne Zurücklegen
hypergeometrische Verteilung
diskrete Zufallsvariable
Vandermonde-Identität
Zufallsvariable
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Ziehen mit Zurücklegen
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Quantil und Median
Das p-Quantil als Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion und der Spezialfall des Medians als p-Quantil zur Wahrscheinlichkeit p = 0.5 werden vorgestellt.
walter
Anfänger
28 Apr. 2021
0
Quartil
Normalverteilung
diskrete Zufallsvariable
Zufallsvariable
Median
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
p-Quantil
Quantil
stetige Zufallsvariable
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung wird verwendet, um Wartezeiten zu modellieren. Die grundlegenden Eigenschaften wie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, die Verteilungsfunktion und insbesondere der Zusammenhang zur Binomialverteilung und die sogenannte Gedächtnislosigkeit werden besprochen.
walter
Anfänger
10 Feb. 2021
0
Standardabweichung
Varianz
diskrete Zufallsvariable
geometrische Verteilung
geometrische Reihe
Zufallsvariable
Gedächtnislosigkeit
geometrische Folge
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung
Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.
walter
Anfänger
6 Aug. 2020
0
Varianz
Normalverteilung
Exponentialverteilung
diskrete Zufallsvariable
Poisson-Verteilung
Moment
Erwartungswert
Standardabweichung
geometrische Verteilung
Zufallsvariable
Gauß-Integral
Streuungsmaß
Summe von Zufallsvariablen
stetige Zufallsvariable
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die wichtigste Kennzahl, um Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu beschreiben. Seine Definition und Eigenschaften werden ausführlich erläutert. An zahlreichen Beispielen wird seine Berechnung vorgeführt; dabei werden nebenbei wichtige Wahrscheinlichkeits-Verteilungen vorgestellt.
walter
Anfänger
31 Jul. 2020
0
Normalverteilung
Exponentialverteilung
diskrete Zufallsvariable
empirischer Mittelwert
Poisson-Verteilung
Erwartungswert
Schwerpunkt
Stichprobe
geometrische Verteilung
Zufallsvariable
Summe von Zufallsvariablen
stetige Zufallsvariable
Konzentrations-Ungleichungen: Die Tschebyscheff-Ungleichung
Die Tschebyscheff-Ungleichung als einfachste Konzentrations-Ungleichung wird aus mehreren Perspektiven beleuchtet: Es werden Beispiele für ihre typische Anwendung besprochen; es wird ein direkter Beweis gegeben; es wird gezeigt, dass sie als Spezialfall der verallgemeinerten Markov-Ungleichung aufgefasst werden kann; es wird diskutiert, wie gut die Abschätzung ist, die sie liefert. In den R-Skripten werden die Berechnungen aus den Anwendungsbeispielen ausgeführt, die man ohne Programmierung kaum bewältigen könnte.
walter
Anfänger
21 Apr. 2020
0
Konzentrations-Ungleichung
Standardabweichung
Varianz
Faltung
diskrete Zufallsvariable
seltenes Ereignis
Zufallsvariable
Erwartungswert
Markov-Ungleichung
Tschebyscheff-Ungleichung
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