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Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Lösung von Wartezeitproblemen mit Hilfe der geometrischen Verteilung
Die geometrische Verteilung kann als Verteilung von Wartezeiten aufgefasst werden, wenn man einen Münzwurf solange wiederholt bis der erste Treffer eintritt: man berechnet die Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der nötigen Würfe. Man kann dieses Wartezeitproblem verallgemeinern, indem man nicht bis zum ersten sondern bis zum r-ten Treffer wartet. Die Verteilung dieser Wartezeiten wird berechnet und die Eigenschaften der dabei entstehenden Verteilung wird untersucht.
walterMittel12 Sep. 20220Varianzdiskrete ZufallsvariableWartezeitgeometrische ReiheErwartungswertBaumdiagrammWahrscheinlichkeitsverteilungStandardabweichungBinomialkoeffizientFaltunggeometrische VerteilungZufallsvariablegeometrische FolgeUnabhängigkeit
Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung
Die Jensensche Ungleichung liefert eine Abschätzung zwischen der Anwendung einer Funktion auf eine konvexe Kombination beziehungsweise der konvexen Kombination der Funktionswerte. Je nachdem, ob die Funktion konvex oder konkav ist, erhält man ein anderes Ungleichheitszeichen zwischen den genannten Termen. Im Folgenden werden die zum Beweis der Jensenschen Ungleichung nötigen Eigenschaften von konvexen Funktionen erläutert, die Jensensche Ungleichung formuliert und bewiesen und einige Anwendungen gezeigt (Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf Erwartungswerte von Zufallsvariablen).
walterMittel8 Feb. 20220arithmetisches Mittelkonkave Funktiondiskrete Zufallsvariablekonvexe FunktionZufallsvariablekonkavkonvexErwartungswertKonvexkombinationJensensche Ungleichunggeometrisches Mittel
Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele
Die Definition der Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder einer Zufallsvariable wird an einfachen Beispielen erläutert. Es wird diskutiert, dass die Entropie kein Streuungsmaß ist (wie die Standardabweichung), sondern die Ungewissheit (oder Unbestimmtheit) des Ausgangs eines Zufallsexperimentes beschreibt.
walterAnfänger4 Dez. 20210Varianzdiskrete ZufallsvariableErwartungswertKonvexitätElementarereignisWahrscheinlichkeitsmaßWahrscheinlichkeitsverteilungEntropieUngewissheitStandardabweichungErgebnisraumWahrscheinlichkeitsraumZufallsvariableStreuungsmaßSimplex
Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen mit Hilfe von Indikatorvariablen
Die Methode, den Erwartungswert einer Zufallsvariable X mit Hilfe von Indikatorvariablen zu berechnen, ist deshalb so wichtig, weil man dazu die Verteilung von X nicht kennen muss. Die eigentliche Schwierigkeit besteht oft darin, geeignete Indikatorvariablen zu finden. An mehreren Beispielen (Münzwurf, hypergeometrische Verteilung und einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung) wird dieses Vorgehen demonstriert. Da man Varianzen auf Erwartungswerte zurückführen kann, lassen sich mit dieser Methode auch Varianzen und Standardabweichungen berechnen.
walterMittel27 Jul. 20210IndikatorvariableStandardabweichungVarianzZiehen ohne Zurücklegenhypergeometrische Verteilungdiskrete ZufallsvariableZufallsvariableErwartungswertZiehen mit ZurücklegenIndikatorfunktionSumme von Zufallsvariablen
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen n Treffer aus einer Urne gezogen werden; dazu befinden sich in der Urne anfangs L Treffer und K Nieten und es werden N Lose entnommen. Die Abhängigkeit der Verteilung von den drei Parametern K, L und N erschwert den Zugang zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Es werden zwei - natürlich gleichwertige - Methoden gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeiten berechnet.
walterMittel13 Jul. 20210StandardabweichungVarianzZiehen ohne Zurücklegenhypergeometrische Verteilungdiskrete ZufallsvariableVandermonde-IdentitätZufallsvariableVerteilungsfunktionErwartungswertZiehen mit Zurücklegen
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Quantil und Median
Das p-Quantil als Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion und der Spezialfall des Medians als p-Quantil zur Wahrscheinlichkeit p = 0.5 werden vorgestellt.
walterAnfänger28 Apr. 20210QuartilNormalverteilungdiskrete ZufallsvariableZufallsvariableMedianVerteilungsfunktionErwartungswertp-QuantilQuantilstetige Zufallsvariable
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung wird verwendet, um Wartezeiten zu modellieren. Die grundlegenden Eigenschaften wie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, die Verteilungsfunktion und insbesondere der Zusammenhang zur Binomialverteilung und die sogenannte Gedächtnislosigkeit werden besprochen.
walterAnfänger10 Feb. 20210StandardabweichungVarianzdiskrete Zufallsvariablegeometrische Verteilunggeometrische ReiheZufallsvariableGedächtnislosigkeitgeometrische FolgeVerteilungsfunktionErwartungswert
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung
Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.
walterAnfänger6 Aug. 20200VarianzNormalverteilungExponentialverteilungdiskrete ZufallsvariablePoisson-VerteilungMomentErwartungswertStandardabweichunggeometrische VerteilungZufallsvariableGauß-IntegralStreuungsmaßSumme von Zufallsvariablenstetige Zufallsvariable
Eigenschaften von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die wichtigste Kennzahl, um Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu beschreiben. Seine Definition und Eigenschaften werden ausführlich erläutert. An zahlreichen Beispielen wird seine Berechnung vorgeführt; dabei werden nebenbei wichtige Wahrscheinlichkeits-Verteilungen vorgestellt.
walterAnfänger31 Jul. 20200NormalverteilungExponentialverteilungdiskrete Zufallsvariableempirischer MittelwertPoisson-VerteilungErwartungswertSchwerpunktStichprobegeometrische VerteilungZufallsvariableSumme von Zufallsvariablenstetige Zufallsvariable
Konzentrations-Ungleichungen: Die Tschebyscheff-Ungleichung
Die Tschebyscheff-Ungleichung als einfachste Konzentrations-Ungleichung wird aus mehreren Perspektiven beleuchtet: Es werden Beispiele für ihre typische Anwendung besprochen; es wird ein direkter Beweis gegeben; es wird gezeigt, dass sie als Spezialfall der verallgemeinerten Markov-Ungleichung aufgefasst werden kann; es wird diskutiert, wie gut die Abschätzung ist, die sie liefert. In den R-Skripten werden die Berechnungen aus den Anwendungsbeispielen ausgeführt, die man ohne Programmierung kaum bewältigen könnte.
walterAnfänger21 Apr. 20200Konzentrations-UngleichungStandardabweichungVarianzFaltungdiskrete Zufallsvariableseltenes EreignisZufallsvariableErwartungswertMarkov-UngleichungTschebyscheff-Ungleichung