Fakultät

Die Herleitung der Stirling-Approximation mit der Laplace-Methode

Das asymptotische Verhalten der Fakultät n! wird in sehr guter Näherung durch die Stirling-Approximation beschrieben. Sie wird hier durch die sogenannte Laplace-Methode hergeleitet. Dabei wird die Fakultät mit Hilfe der Gamma-Funktion ausgedrückt; das uneigentliche Integral wird durch geeignete Umformungen und Näherungen berechnet. Die Güte der Approximation wird nicht untersucht, aber es werden alle Rechenschritte erläutert und die Zwischenergebnisse veranschaulicht.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck und der n-dimensionale Hyperwürfel

Binomialkoeffizienten und einige einfache Anwendungen in Abzählproblemen (wie die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Zahlenlotto) wurden bereits in den Begriffsbildungen der Kombinatorik vorgestellt. Hier werden die grundlegenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten diskutiert: die Pascalsche Rekursionsformel, der Aufbau des Pascalschen Dreiecks, der binomische Satz. Binomialkoeffizienten treten in unüberschaubar vielen Bereichen der Mathematik auf und ihr Auftreten sollte immer als Hinweis auf - mehr oder weniger offensichtliche - Querverbindungen verstanden werden. Als Beispiel einer dieser Querverbindungen wird der Zusammenhang der Binomialkoeffizienten mit dem n-dimensionalen Hyperwürfel diskutiert.

Konzepte der Statistischen Mechanik: Die Abschätzung der Anzahl der Mikrozustände pro Makrozustand

Für ein einfaches Modellsystem wird untersucht, welcher Makrozustand durch die meisten Mikrozustände realisiert wird und wie sich dieser Makrozustand charakterisieren lässt. Dabei werden die zugehörigen Abzählprobleme näherungsweise gelöst, da ihre exakte Lösung nur für sehr kleine Teilchenzahlen möglich ist. Die Methoden für diese Näherungen werden ausführlich besprochen: Stirling-Formel und Suche nach dem Maximum eines Multinomialkoeffizienten unter Nebenbedingung (mit Lagrange-Multiplikatoren).

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Begriffsbildungen der Kombinatorik

Nachdem im letzten Kapitel Beispiele für einfache Abzählprobleme vorgestellt wurden, werden jetzt die Grundbegriffe der Kombinatorik, nämlich Variation, Permutation und Kombination eingeführt, systematisch untersucht und an weiteren einfachen Beispielen erläutert.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: einfache Abzählprobleme

An einfachen Abzählproblemen beim Würfeln wird gezeigt, wie man in der Kombinatorik systematisch vorgeht, um Abzählprobleme zu klassifizieren und allgemeine Formeln zur Berechnung der Anzahl der Realisierungen gewisser Ereignisse herzuleiten. In den R-Skripten werden Beispiele gezeigt, wie man solche Probleme auch ohne Kenntnisse aus der Kombinatorik mit roher Gewalt (brute force-Algorithmen) lösen kann.