In der Mathematik spielt die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine zentrale Rolle, wenn es darum geht, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zu quantifizieren. Diese Disziplin beschäftigt sich mit der Analyse von Zufallsvorgängen und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
Ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Zufallsvariable, die in verschiedenen Artikeln auf unserer Plattform behandelt wird. Von einfachen Abzählproblemen bis hin zu komplexen statistischen Analysen ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung in vielen Bereichen der Naturwissenschaften und Informatik unverzichtbar.
Die Axiome von Kolmogorov bilden die Basis für die Wahrscheinlichkeitstheorie und sind essentiell für das Verständnis von Wahrscheinlichkeitsberechnungen. In Kombination mit den Begriffsbildungen der Kombinatorik eröffnet sich ein breites Spektrum an Anwendungsmöglichkeiten.
Mathematiker, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler nutzen die Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung, um Daten zu analysieren, Prognosen zu erstellen und Entscheidungen zu treffen. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Eigenschaften der Regressionsgeraden sind nur einige Beispiele für die praktische Anwendung dieses Wissens.
An zwei konkreten Beispielen wird gezeigt, wie aus stark beziehungsweise schwach korrelierten Messdaten die Regressionsgerade berechnet wird und wie man ihre Eigenschaften veranschaulichen kann. Herleitungen der Formeln zur Berechnung der Regressionskoeffizienten (Methode der kleinsten Quadrate) werden hier nicht gegeben; auch die Quelltexte zur den Berechnungen und Diagrammen werden hier nicht gezeigt.
Zufallsvariablen sind die geeignete Begriffsbildung um sowohl Ereignisse als auch deren Wahrscheinlichkeiten treffend zu beschreiben und zu berechnen. In späteren Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsvariablen ständig eingesetzt. Hier wird zunächst gezeigt, wie Zufallsvariablen mit der Ereignisalgebra und dem Wahrscheinlichkeitsmaß zusammenhängen und sich so nahtlos in den Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfügen. In den R-Skripten wird gezeigt, wie man Zufallsvariable leicht modellieren kann.
Die fundamentalen Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nämlich Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsraum und die Axiome von Kolmogorov, werden formuliert. Es werden einige einfache Anwendungen und Skripte für Simulationen von Zufallsexperimenten gezeigt.
Die grundlegenden Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden eingeführt: Zufallsexperiment, Ergebnismenge, Ereignis, Ereignisalgebra, Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsraum. Ferner werden Computer-Experimente zum Vergleich der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit vorgestellt.
Nachdem im letzten Kapitel Beispiele für einfache Abzählprobleme vorgestellt wurden, werden jetzt die Grundbegriffe der Kombinatorik, nämlich Variation, Permutation und Kombination eingeführt, systematisch untersucht und an weiteren einfachen Beispielen erläutert.
An einfachen Abzählproblemen beim Würfeln wird gezeigt, wie man in der Kombinatorik systematisch vorgeht, um Abzählprobleme zu klassifizieren und allgemeine Formeln zur Berechnung der Anzahl der Realisierungen gewisser Ereignisse herzuleiten. In den R-Skripten werden Beispiele gezeigt, wie man solche Probleme auch ohne Kenntnisse aus der Kombinatorik mit roher Gewalt (brute force-Algorithmen) lösen kann.
Die Inhalte Ungewohnt für ein Lehrbuch ist die – fast schon essaystische – Anordnung der Kapitel. Inhaltlich kann man sie völlig getrennt voneinander lesen; zusammengehalten werden sie durch die Einheitlichkeit des Gesamtthemas Mathematik und Technologie und die dabei verwendete Methodik. Für ...
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