Summe von Zufallsvariablen

Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen mit Hilfe von Indikatorvariablen

Die Methode, den Erwartungswert einer Zufallsvariable X mit Hilfe von Indikatorvariablen zu berechnen, ist deshalb so wichtig, weil man dazu die Verteilung von X nicht kennen muss. Die eigentliche Schwierigkeit besteht oft darin, geeignete Indikatorvariablen zu finden. An mehreren Beispielen (Münzwurf, hypergeometrische Verteilung und einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung) wird dieses Vorgehen demonstriert. Da man Varianzen auf Erwartungswerte zurückführen kann, lassen sich mit dieser Methode auch Varianzen und Standardabweichungen berechnen.

Indikatorvariable Standardabweichung Varianz Ziehen ohne Zurücklegen hypergeometrische Verteilung diskrete Zufallsvariable Zufallsvariable Erwartungswert Ziehen mit Zurücklegen Indikatorfunktion Summe von Zufallsvariablen

Einführung des Begriffs der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen

Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist eine der wichtigsten Begriffsbildungen, um Summen von unabhängigen Zufallsvariablen zu beschreiben, da sich mit ihr viele Eigenschaften von Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen prägnant formulieren lassen und zahlreiche Bezüge zu anderen (scheinbar entfernten) Begriffen und Aussagen herstellen lassen. In diesem einführenden Kapitel wird auf exakte mathematische Definitionen und Beweise verzichtet, stattdessen soll der Begriff der Faltung an typischen Beispielen motiviert werden.

Normalverteilung diskrete Zufallsvariable Vandermonde-Identität Standard-Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsmaß Binomialverteilung Faltung Wahrscheinlichkeitsraum Gleichverteilung Zufallsvariable Faltungsintegral Unabhängigkeit Summe von Zufallsvariablen stetige Zufallsvariable

Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung

Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.

Varianz Normalverteilung Exponentialverteilung diskrete Zufallsvariable Poisson-Verteilung Moment Erwartungswert Standardabweichung geometrische Verteilung Zufallsvariable Gauß-Integral Streuungsmaß Summe von Zufallsvariablen stetige Zufallsvariable

Eigenschaften von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die wichtigste Kennzahl, um Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu beschreiben. Seine Definition und Eigenschaften werden ausführlich erläutert. An zahlreichen Beispielen wird seine Berechnung vorgeführt; dabei werden nebenbei wichtige Wahrscheinlichkeits-Verteilungen vorgestellt.

Normalverteilung Exponentialverteilung diskrete Zufallsvariable empirischer Mittelwert Poisson-Verteilung Erwartungswert Schwerpunkt Stichprobe geometrische Verteilung Zufallsvariable Summe von Zufallsvariablen stetige Zufallsvariable