Die Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion

Einordnung des Artikels

• Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)
  • Anwendungen in Physik und Technik
    • Klassische Mechanik
      • Die Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion

Der Lagrange-Formalismus und die zugehörige Mathematik (Differentialgleichungen, partielle Ableitungen) wird hier als bekannt vorausgesetzt. Eine Einführung zur Legendre-Transformation findet sich in https://de.jberries.com/artikel/die-eindimensionale-legendre-transformation-motivation-definition-und-einfache-beispiele-172/.

Einführung

Für die klassische Mechanik gibt es mehrere gleichwertige Formulierungen:

• die Newtonsche Mechanik,
• den Lagrange-Formalismus und
• die Hamiltonsche Mechanik.

Die Newtonsche Mechanik beruht darauf, dass zwischen Körpern Kräfte wirken und dass man aus der Kenntnis der Kräfte die Bewegungsgleichungen herleiten kann. Der Lagrange-Formalismus und die Hamiltonsche Mechanik verwenden zur Beschreibung eines Systems die Lagrange-Funktion L beziehungsweise die Hamilton-Funktion H, die beide die Einheit einer Energie haben. Aus den Funktionen L beziehungsweise H lassen sich die Bewegungsgleichungen ableiten. In einer Zeit, in der der Energieerhaltungssatz noch nicht formuliert war, war es schwer die Bedeutung dieser Größen richtig einzuordnen.

Hier soll ein kleiner Beitrag zum Verständnis der Lagrange- und der Hamilton-Funktion geleistet werden: Es wird gezeigt, dass beim Übergang vom Lagrange-Formalismus zur Hamilton-Mechanik keinerlei "Physik" benötigt wird. Denn beim Übergang von L zu H wird eine rein mathematische Transformation ausgeführt – die Legendre-Transformation – und die Hamilton-Gleichungen ergeben sich sofort, wenn man das vollständige Differential von H untersucht und die Lagrange-Gleichungen als gegeben annimmt. Die Hamilton-Gleichungen sind dann nur das System von Differentialgleichungen erster Ordnung das zu den Lagrange-Gleichungen (Differentialgleichungen zweiter Ordnung) äquivalent ist.

Am Paradebeispiel des harmonischer Oszillators werden die drei Sichtweisen der Klassischen Mechanik erläutert.

Lagrange-Funktion und Lagrange-Gleichungen

Die Lagrange-Funktion und Lagrange-Gleichungen werden hier als bekannt vorausgesetzt; die wichtigsten Begriffe und Gleichungen sind in Abbildung 1 zusammengestellt. Ausführliche Erläuterungen finden sich in jedem Lehrbuch der theoretischen Physik.

Abbildung 1: Begriffe und Formeln im Zusammenhang mit der Lagrange-Funktion und den Lagrange-Gleichungen.

Die Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion

Wie gelangt man von der Lagrange-Funktion L(q, v, t) und den Lagrange-Gleichungen zur Hamilton-Funktion H(q, p, t) und den Hamilton-Gleichungen? Der entscheidende Schritt ist, dass man von der generalisierten Geschwindigkeit v = dq/dt zum generalisierten Impuls p übergeht (siehe Gleichung (1) in Abbildung 2). Dies geschieht nicht, indem man in der Lagrange-Funktion eine Substitution vornimmt, denn bei einer Substitution kann "Information" verloren gehen. Vielmehr benötigt man eine Transformation, die umkehrbar ist und somit aus der transformierten Funktionen die ursprüngliche Funktion zurückgewonnen werden kann.

Was hier mit Information einer Funktion gemeint ist, kann man leicht erklären: In der Newtonschen Mechanik wird ein System dadurch charakterisiert, dass man die Kräfte angibt, die zwischen den Körpern des Systems wirken. Kennt man zusätzlich die Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten der Teilchen, kann man die Newtonschen Gleichungen lösen und erhält die Bahnkurven der Teilchen.

Im Lagrange-Formalismus ist die Information über ein physikalisches System in der Lagrange-Funktion enthalten. Mit Hilfe der Anfangsbedingungen werden dann die Lagrange-Gleichungen gelöst. Die Newtonsche Mechanik und der Lagrange-Formalismus sind gleichwertig.

In diesem Sinne soll jetzt ein neuer und ebenso gleichwertiger Formalismus entwickelt werden, in dem ein System nicht durch die Angabe der generalisierten Koordinaten und generalisierten Geschwindigkeiten beschrieben wird, sondern durch generalisierte Koordinaten und generalisierte Impulse.

Bei einer Substitution könnte Information über das physikalische System verloren gehen. Die mathematisch angemessene Transformation – wenn in der Funktion L(q, v, t) die Variable v durch die Variable p nach Gleichung (1) in Abbildung 2 ersetzt werden soll – ist die Legendre-Transformation.

Damit sie tatsächlich eine Funktion mit gleichem "Informationsgehalt" definiert, muss es möglich sein, für Gleichung (1) in Abbildung 2 die Umkehrfunktion zu berechnen, also die generalisierte Geschwindigkeit v = dq/dt als Funktion des Impulses p darzustellen. Unter dieser Voraussetzung kann man wie in Gleichung (2) eine neue Funktion H(q, p, t) definieren, die den gleichen "Informationsgehalt" wie die Lagrange-Funktion besitzt.

Die Gleichungen (3) und (4) in Abbildung 2 zeigen, wie man die Definition der Legendre-Transformation verallgemeinert, wenn es f Freiheitsgrade gibt.

Abbildung 2: Die Berechnung der Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion.

Der Term pv = mv² in der Legendre-Transformation, der mit 2T übereinstimmt (siehe Gleichung (2)), wurde früher als "lebendige Kraft" bezeichnet. Mit "früher" ist die Zeit gemeint, bevor der Energieerhaltungssatz formuliert und die kinetische Energie T als der relevante Term erkannt war. Der Name "lebendige Kraft" mag heute verwundern. Er erinnert an Aristoteles' Definition von Leben: das wesentliche Merkmal von lebenden Wesen ist es, dass sie sich von selbst fortbewegen können. Der Trägheitssatz und die Bedeutung der Größe mv² sind in diesem Bild nur schwer zu verstehen.

Herleitung der Hamilton-Gleichungen

Bei der Berechnung der Hamilton-Funktion wurde rein formal vorgegangen:

• Anstelle der generalisierten Geschwindigkeit v = dq/dt wurde der generalisierte Impuls p als Variable eingeführt, wecher als partielle Ableitung von L nach v definiert ist.
• Den Übergang zur neuen Funktion H(q, p, t) bewerkstelligt die Legendre-Transformation.

Die einzige "physikalische Überlegung" dieser Transformation besteht darin, dass die neue Variable p eine physikalische Relevanz haben muss. Im einfachsten Fall mit T = mv²/2 und einer potentiellen Energie, die nur von q abhängt, erhält man den bekannten Impuls p = mv. Man wird daher noch weitere Beispiele untersuchen müssen – insbesondere wenn die generalisierten Koordinaten nicht mehr die Dimension einer Länge haben –, ob der generalisierte Impuls physikalisch relevant ist.

Auch die weitere Vorgehensweise zur Herleitung der Hamilton-Gleichungen ist rein formal:

Es wird untersucht, welche Differentialgleichungen sich ergeben, wenn man die Lagrange-Gleichung auf die neuen Variablen q und p transformiert. Dazu wird das vollständige Differential der Hamilton-Funktion auf zwei Arten gebildet:

1. Mit partiellen Ableitungen von H (siehe Gleichung (2) in Abbildung 3).
2. Ausgehend von der Definition von H als Legendre-Transformierter von L (siehe Gleichung (3) in Abbildung 3).
3. Diese zweite Version wird mit Hilfe der partiellen Ableitungen von L dargestellt, wobei die Definition des generalisierten Impulses eingesetzt wird.

Abbildung 3: Die Berechnung des vollständigen Differentials der Hamilton-Funktion (einmal rein formal und einmal mit dem Ausdruck aus der Legendre-Transformation).

In den beiden nun gewonnenen Darstellungen des vollständigen Differentials von H werden die Koeffizienten vor dq, dp und dt miteinander verglichen (siehe Gleichung (1) und (2) in Abbildung 4). Setzt man die Lagrange-Gleichung ein, erhält man die drei Hamilton-Gleichungen (3). Ihre Veralgemeinerung für f Freiheitsgrade ist in den Gleichungen (4) und (5) gezeigt.

Abbildung 4: Herleitung der Hamilton-Gleichungen durch Vergleich der beiden Darstellungen des vollständigen Differentials von H.

Vergleicht man jetzt Gleichung (4) in Abbildung 1 und Gleichung (3) in Abbildung 4, so erkennt man, dass der Übergang von der Lagrange-Gleichung zu den Hamilton-Gleichungen genau dem Verfahren entspricht, das in der Mathematik angewendet wird, um Differentialgleichungen höherer Ordnung zu lösen: Die Differentialgleichung zweiter Ordnung wird in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung verwandelt. (Bei f Freiheitsgraden gibt es f Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die in ein System von 2f Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt werden.) Am folgenden Beispiel des harmonischen Oszillators wird dies deutlicher.

Gegenüberstellung der Sichtweisen von Newton, Lagrange und Hamilton

An einem sehr einfachen Beispiel soll gezeigt werden, wie man bei der Lösung eines dynamischen Problems vorgeht:

1. Newtonsche Mechanik: Das System wird dadurch charakterisiert, dass man die in ihm wirkenden Kräfte angibt. Das zweite Newtonsche Axiom dp/dt = F liefert die Bewegungsgleichungen (als Differentialgleichung zweiter Ordnung) und somit die Menge aller möglichen Bahnkurven. Gibt man zusätzlich Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten der Körper vor, kann man die tatsächlich realisierten Bahnkurven berechnen.
2. Lagrange-Formalismus: Das System wird durch die Angabe der Funktion L = T - V charakterisiert. Die Lagrange-Gleichungen liefert die Bewegungsgleichungen und entspricht somit dem zweiten Newtonschen Axiom. Wieder kann man aus den Anfangsbedingungen die tatsächlich realisierten Bahnen berechnen.
3. Hamiltonsche Mechanik: Das System wird durch die Funktion H = T + V charakterisiert (Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion). Die Hamilton-Gleichungen sind gleichwertig zu den Lagrange-Gleichungen, erzeugen aber ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung. Durch die Angabe von Anfangsorten und Anfangsimpulsen kann man die Bahnkurven berechnen.

Abbildung 5 zeigt die Zusammenstellung der relevanten Formeln in den drei verschiedenen – aber dennoch gleichwertigen – Sichtweisen der Klassischen Mechanik.

Abbildung 5: Gegenüberstellung der Sichtweisen der Newtonschen Mechanik, des Lagrange-Formalismus und der Hamiltonschen Mechanik.

Am Beispiel des harmonischen Oszillators soll die Vorgehensweise der drei Zugänge demonstriert werden. Es wird jeweils gezeigt, wie man das System beschreibt und wie man die Bewegungsgleichung erhält. Das Beispiel ist sehr einfach gewählt, um diese beiden Punkte herauszustellen.

Newtonsche Mechanik

Es gibt hier nur einen Körper der Masse m, auf die eine äußere Kraft wirkt. Hier ist es die rücktreibende Kraft, die zur Auslenkung des Oszillators aus seiner Ruhelage x = 0 proportional ist. Die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante D (siehe Gleichung (1) in Abbildung 6).

Damit kann das zweite Newtonsche Gesetz als Differentialgleichung für die Auslenkung x geschrieben werden, siehe Gleichung (2). Es handelt sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die eine eindeutige Lösung besitzt, wenn man den Anfangsort x(0) und die Anfangsgeschwindigkeit v(0) vorgibt. Die Lösung zeigt Gleichung (3).

Abbildung 6: Aufstellen der Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator in der Newtonschen Mechanik.

Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus muss man die Terme für die kinetische Energie T und die potentielle Energie V ansetzen und damit die Lagrange-Funktion L = T - V bilden (siehe Gleichung (1) und (2) in Abbildung 7). Die Lagrange-Funktion (2) ist eine Funktion der generalisierten Koordinate q, für die man hier natürlich den Ort des Oszillators wählt, und der generalisierten Geschwindigkeit v = dq/dt. Jetzt kann man die Ableitungen nach Gleichung (3) bilden und die Lagrange-Gleichung ansetzen, die wieder auf die bekannte Schwingungsgleichung führt (Gleichung (3) und (4)).

Abbildung 7: Aufstellen der Lagrange-Funktion für den harmonischen Oszillator, Bilden der partiellen Ableitungen und Aufstellen der Bewegungsgleichung.

Hamiltonsche Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik benötigt man den generalisierten Impuls p, der duch partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der generalisierten Koordinate gebildet wird (siehe Gleichung (1) in Abbildung 8). Der generalisierte Impuls p stimmt hier natürlich mit mv überein. Die Hamilton-Funktion wird jetzt ausdrücklich als Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion berechnet, siehe Gleichung (2) und (3). Dazu muss die generalisierte Geschwindigkeit in der Lagrange-Funktion durch den generalisierten Impuls p ausgedrückt werden. Die Hamilton-Gleichungen erhält man aus den partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion (siehe Gleichung (4) und (5)).

Abbildung 8: Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator in der Newtonschen Mechanik.

Aufgaben:

1. Abbildung 9 zeigt die Höhenlinien der Funktionen L und H für den harmonischen Oszillator (zumindest qualitativ, da die Skalierung der Achsen willkürlich gewählt wurde). Diskutieren Sie den qualitativen Verlauf der Funktionen.

2. Zeigen Sie, dass die Lösungen der Bewegungsgleichungen auf den Höhenlinien der Hamilton-Funktion liegen.

Abbildung 9: Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator in der Newtonschen Mechanik.