Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)

Die Auswahl und Voraussetzungen

Ähnlich wie der Kurs Einführung in die Informatik ist dieser Kurs aus mehreren Vorlesungen an verschiedenen Hochschulen hervorgegangen. Ausgewählt wurden dabei diejenigen Kapitel, die

• nicht in jeder Vorlesung zur Einführung in die Mathematik behandelt werden (Analysis und Lineare Algebra sind immer Teil der Mathematik-Ausbildung an Hochschulen und werden hier nicht erläutert),
• insbesondere bei Programmier-Anwendungen von Bedeutung sind.

Der letzte Punkt soll aber nicht bedeuten, dass der Kurs ausschließlich Programmierer ansprechen soll; die besprochenen Themen sollten für eine Vielzahl von Ingenieuren und Naturwissenschaftlern interessant sein.

An Voraussetzungen reichen meist die Mathematik-Kenntnisse, die der Hochschulreife entsprechen. An einigen Stellen werden aber Kenntnisse in mehrdimensionaler Differential- und Integralrechnung und in Linearer Algebra sowie der sichere Umgang mit wissenschaftlichen Funktionen vorausgesetzt.

Sofern mehr als Hochschulreife zum Verständnis nötig ist, wird zur besseren Orientierung jedem Kapitel ein kurzer Überblick über die Voraussetzungen vorangestellt.

Die Zielsetzung

Die Zielsetzung des Kurses liegt weniger darin, mathematische Begriffe möglichst exakt zu definieren und sämtliche Aussagen lückenlos zu beweisen – ein echter Mathematiker wird mit diesem Kurs eher unzufrieden sein und seine Ungenauigkeit ankreiden.

Für den Anwender ist diese mathematische Sichtweise auch meist nicht sehr hilfreich, da er lieber mit Hilfe von Beispielen an neue Konzepte und Formeln herangeführt werden möchte. Aber genau dies soll dieser Kurs leisten: Seine Zielsetzung ist es, die inhaltliche Bedeutung der vorgestellten Konzepte durchsichtig gemacht werden, indem

• die Motivation der Begriffsbildungen vorgestellt wird,
• die Konzepte, Formeln und Sätze an Beispielen erläutert werden und
• Beweise nicht in allen Details und Spitzfindigkeiten ausgeführt werden, sondern meist nur die Beweisideen geschildert werden.

Großteils werden nach dem Theorieteil R-Skripte gezeigt, die zuvor besprochene Konzepte aufgreifen und diese nochmals veranschaulichen sollen. Ein Einführungskurs in die Programmiersprache R ist in der Einführung in die Informatik enthalten. Wer schon mit einer anderen Programmiersprache gut vertraut ist, wird sich schnell in die Syntax von R einfinden und in der Lage sein, die Programme in seiner eigenen Sprache zu schreiben.

Ausführliches Inhaltsverzeichnis

1. Eine kleine Anleitung zum Selbststudium
2. Zahlentheorie
   1. Stellenwertsysteme und Umrechnung zwischen den wichtigsten Zahlensystemen: Dezimalsystem, Hexadezimalsystem, Dualsystem
   2. Ganzzahl-Division: Kongruenzen und Restklassen als Beispiele für Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
   3. Rechnen mit Restklassen: Teilbarkeitsregeln
   4. Die Teilbarkeitsrelation als Ordnungsrelation
   5. Der größte gemeinsame Teiler und der Euklidische Algorithmus
   6. Primzahlen
   7. Pythagoreische Zahlentripel
      1. Der Satz des Pythagoras und pythagoreische Zahlentripel
      2. Explizite Berechnung der primitiven pythagoreischen Zahlentripel
3. Spezielle Kapitel der Analysis
   1. Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele
   2. Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt
   3. Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: die Integraldarstellung des Restgliedes
   4. Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung
   5. Die eindimensionale Legendre-Transformation: Motivation, Definition und einfache Beispiele
   6. Die Herleitung der Stirling-Approximation mit der Laplace-Methode
4. Wahrscheinlichkeitsrechnung
   1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
      1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsexperiment und Wahrscheinlichkeit
      2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Axiome von Kolmogorov
      3. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: einfache Abzählprobleme
      4. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Begriffsbildungen der Kombinatorik
      5. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck und der n-dimensionale Hyperwürfel
      6. Spezielle Abzählprobleme: Ziehen ohne Zurücklegen
      7. Spezielle Abzählprobleme: Kombinationen mit Wiederholungen und die Beweismethode Stars and Bars
      8. Spezielle Abzählprobleme: Partitionen
      9. Entwicklung eines brute force Algorithmus für das Damenproblem
      10. Lösung von Abzählproblemen durch Rekursion
      11. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Zufallsvariable
      12. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Diskrete und stetige Zufallsvariablen
   2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
      1. Eigenschaften von Zufallsvariablen: Der Erwartungswert von diskreten und stetigen Zufallsvariablen
      2. Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung
      3. Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen mit Hilfe von Indikatorvariablen
      4. Eigenschaften von Zufallsvariablen: Quantil und Median
      5. Einführung des Begriffs der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen
      6. Konzentrations-Ungleichungen: Die Tschebyscheff-Ungleichung
      7. Konzentrations-Ungleichungen: Die Chernoff-Schranke für die Binomialverteilung
   3. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
      1. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die geometrische Verteilung
      2. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Lösung von Wartezeitproblemen mit Hilfe der geometrischen Verteilung
      3. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die hypergeometrische Verteilung
      4. Wartezeitprobleme beim Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen
      5. Interpretation der Zufallsexperimente Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen durch Pfade auf einem Gitter
   4. Die Entropie
      1. Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele
      2. Die Additivität der Entropie bei unabhängigen Zufallsvariablen
      3. Die Motivation der Entropiefunktion durch die Boltzmann-Entropie
      4. Die bedingte Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele
      5. Die gegenseitige Information
      6. Entropien und gegenseitige Information bei Wartezeitproblemen
5. Statistik
   1. Demonstration zur Methode der kleinsten Quadrate und der Eigenschaften der Regressionsgerade
   2. Regressionsanalyse: Die Varianzzerlegung, das Bestimmtheitsmaß und der Residualplot
6. Monte Carlo Methoden
   1. Der mehrarmige Bandit (multi-armed bandit)
      1. Der mehrarmige Bandit (multi-armed bandit): Das Dilemma zwischen Exploration und Exploitation
      2. Der mehrarmige Bandit (multi-armed bandit): Simulationen mit einfachen Algorithmen
      3. Der mehrarmige Bandit (multi-armed bandit): Implementierung eines Simulations-Algorithmus in R
   2. Der Monte-Carlo-Tree-Search-Algorithmus
      1. Ein Zahlenspiel zur Erläuterung des Monte Carlo Tree Search Algorithmus
      2. Berechnung der Gewinn-Wahrscheinlichkeiten für das Zahlenspiel 3-5-11 und Durchführung von Simulationen mit Zufallszügen
7. Anwendungen in Physik und Technik
   1. Klassische Mechanik
      1. Krummlinige Koordinatensysteme: ebene Polarkoordinaten
      2. Krummlinige Koordinatensysteme: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten
   2. Thermodynamik
      1. Der Carnot-Prozess und der Carnot-Faktor
      2. Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Temperaturausgleich
      3. Die Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases
      4. Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Der Druckausgleich
      5. Die innere Energie als thermodynamisches Potential
      6. Die freie Energie und die gebundene Energie
      7. Eigenschaften der thermodynamischen Potentiale: Die freie Energie
      8. Veranschaulichung der freien Energie bei einer isochoren Zustandsänderung im TS-Diagramm
   3. Statistische Mechanik
      1. Konzepte der Statistischen Mechanik: Mikrozustände und Makrozustände
      2. Konzepte der Statistischen Mechanik: Die Abschätzung der Anzahl der Mikrozustände pro Makrozustand
      3. Konzepte der Statistischen Mechanik: Die Gleichwahrscheinlichkeit der Mikrozustände und die Definition der Boltzmann-Entropie
      4. Berechnung der thermodynamischen und statistischen Größen für das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus
   4. Simulationen zur statistischen Mechanik
      1. Entwicklung eines Zufallsgenerators für gleichverteilte Mikrozustände (Implementierung in R)
      2. Einfache Simulationen zur Boltzmann-Entropie und zur statistischen Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
      3. Einführung einer Dynamik für das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus und Simulationen zur statistischen Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik
      4. Simulation des Temperaturausgleichs im Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus

Literaturempfehlungen

1. Arens, Tilo et al. Mathematik. 4. Auflage. Berlin: Springer Spektrum, 2018.
2. Matoušek, Jiří und Jaroslav Nešetřil. Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. 2. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2007 (Rezension).
3. Rousseau, Christiane und Saint-Aubin, Yvan. Mathematik und Technologie. 1. Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. (Rezension)
4. Schubert, Matthias. Mathematik für Informatiker. 2. Aufl. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 2012. (Rezension)