Moment

Eigenschaften von Zufallsvariablen: Die Varianz und die Standardabweichung

Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.

Varianz Normalverteilung Exponentialverteilung diskrete Zufallsvariable Poisson-Verteilung Moment Erwartungswert Standardabweichung geometrische Verteilung Zufallsvariable Gauß-Integral Streuungsmaß Summe von Zufallsvariablen stetige Zufallsvariable

Konzentrations-Ungleichungen: Die Chernoff-Schranke für die Binomialverteilung

Die Herleitung der Chernoff-Schranke beruht auf der momentenerzeugenden Funktion. Für den Spezialfall der Binomialverteilung kann die optimale Chernoff-Schranke explizit berechnet werden und es geht außer der Markov-Ungleichung keine weitere Näherung ein. Um die Vorgehensweise bei der Berechnung der Chernoff-Schranke besser verständlich zu machen, werden alle Herleitungsschritte besprochen und mit zahlreichen Diagrammen veranschaulicht.

Konzentrations-Ungleichung seltenes Ereignis Zufallsvariable Chernoff-Schranke momentenerzeugende Funktion Moment Markov-Ungleichung Tschebyscheff-Ungleichung Binomialverteilung Bernoulli-Verteilung