konvexe Funktion

Die eindimensionale Legendre-Transformation: Motivation, Definition und einfache Beispiele

Die Legendre-Transformation wird geometrisch motiviert, indem die Menge der Tangenten an den Graphen einer Funktion betrachtet wird. Die formale Definition wird von der Verallgemeinerung, der Legendre-Fenchel-Transformation, abgegrenzt und es wird gezeigt, dass für differenzierbare und konvexe Funktionen beide Transformationen identisch sind. Für einfache Funktionen wird die Legendre-Transformation berechnet und veranschaulicht.

Legendre-Transformation konvex konvexe Funktion konkav Legendre-Fenchel-Transformation Tangente Steigung Umkehrfunktion

Eigenschaften von konvexen Funktionen und die Jensensche Ungleichung

Die Jensensche Ungleichung liefert eine Abschätzung zwischen der Anwendung einer Funktion auf eine konvexe Kombination beziehungsweise der konvexen Kombination der Funktionswerte. Je nachdem, ob die Funktion konvex oder konkav ist, erhält man ein anderes Ungleichheitszeichen zwischen den genannten Termen. Im Folgenden werden die zum Beweis der Jensenschen Ungleichung nötigen Eigenschaften von konvexen Funktionen erläutert, die Jensensche Ungleichung formuliert und bewiesen und einige Anwendungen gezeigt (Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, Anwendung der Jensenschen Ungleichung auf Erwartungswerte von Zufallsvariablen).

konvex konvexe Funktion konkav konkave Funktion Konvexkombination Erwartungswert Zufallsvariable diskrete Zufallsvariable Jensensche Ungleichung arithmetisches Mittel geometrisches Mittel