Das Abzählproblem "Ziehen ohne Zurücklegen" wird unter der Annahme betrachtet, dass sich in der Urne zwei Arten von Objekten befinden (etwa K Nieten und L Treffer). Berechnet wird die Anzahl der möglichen Ergebnisse, wenn N-mal ein Los aus der Urne gezogen wird und dabei die Reihenfolge der Ergebnisse beachtet wird.
Ebenso wird gezeigt, wie man die möglichen Ergebnisse mit Hilfe des Hamming-Abstandes charakterisieren und mit Hilfe des N-dimensionalen Hyperwürfels und im Pascalschen Dreieck veranschaulichen kann. In den R-Skripten werden Algorithmen für das Abzählproblem und die Berechnung der möglichen Ergebnisse vorgestellt und diskutiert.
Binomialkoeffizienten und einige einfache Anwendungen in Abzählproblemen (wie die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Zahlenlotto) wurden bereits in den Begriffsbildungen der Kombinatorik vorgestellt. Hier werden die grundlegenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten diskutiert: die Pascalsche Rekursionsformel, der Aufbau des Pascalschen Dreiecks, der binomische Satz. Binomialkoeffizienten treten in unüberschaubar vielen Bereichen der Mathematik auf und ihr Auftreten sollte immer als Hinweis auf - mehr oder weniger offensichtliche - Querverbindungen verstanden werden. Als Beispiel einer dieser Querverbindungen wird der Zusammenhang der Binomialkoeffizienten mit dem n-dimensionalen Hyperwürfel diskutiert.
Das Abzählproblem, nicht unterscheidbare Kugeln auf nicht unterscheidbare Urnen zu verteilen ist äquivalent zum Problem zu einer ganzen Zahl Z Zerlegung in L Summanden zu finden. Eine derartige Zerlegung wird als Partition bezeichnet. Wie viele Partitionen es gibt, wird für mehrere Fälle untersucht: Die Vertauschung der Reihenfolge zählt (oder zählt nicht) als neue Partition, die Null ist als Summand zugelassen, die Länge der Partition wird nicht festgelegt. Man kann für diese Abzählprobleme zwar Rekursionsformeln angeben, man kann mit einfachen Mitteln aber keine expliziten Formeln angeben, die die Rekursionsformeln lösen.
Kombinationen mit Wiederholungen treten in mehreren Abzählproblemen auf, die zunächst sehr unterschiedlich wirken. Es wird ihre Äquivalenz gezeigt und die Formel hergeleitet, wie man die Anzahl aller Kombinationen mit Wiederholungen berechnet. Dazu verwendet man die Methode Stars and Bars. In den R-Skripten wird ein einfacher Algorithmus gezeigt, wie man die Menge alle Kombinationen mit Wiederholungen rekursiv berechnet.
Was zeichnet das Buch aus? Die Entdeckungsreise von Matoušek und Nešetřil will so gar nicht in die üblichen Kategorien von Mathematik-Büchern passen: Es gibt Lehrbücher, die streng nach dem Prinzip Definition – Satz – Beweis aufgebaut sind und die den Leser meist mit der Frage zurücklassen: "Wie soll ich jemals derartige Mathematik selber machen?" Und es gibt populärwissenschaftliche Bücher, die viel zu oberflächlich sind, um mit ihnen eigene mathematische Fähigkeiten entwickeln zu können. Warum ordnet sich die Entdeckungsreise hier nicht ein? Einerseits enthält es Definitionen, Sätze und Beweise und ein Blick in das Inhaltsverzeichnis erweckt den Eindruck eines üblichen Lehrbuches, andererseits findet man beim zufälligen Aufschlagen immer wieder Passagen im Plauderton . Dennoch ist es alles andere als eine Mischung der beiden genannten Kategorien. Um dies festzustellen, reicht es ein Kapitel zu lesen, von dem man glaubt, es schon gut zu kennen – selbst dort wird man...
Nachdem im letzten Kapitel Beispiele für einfache Abzählprobleme vorgestellt wurden, werden jetzt die Grundbegriffe der Kombinatorik, nämlich Variation, Permutation und Kombination eingeführt, systematisch untersucht und an weiteren einfachen Beispielen erläutert.
An einfachen Abzählproblemen beim Würfeln wird gezeigt, wie man in der Kombinatorik systematisch vorgeht, um Abzählprobleme zu klassifizieren und allgemeine Formeln zur Berechnung der Anzahl der Realisierungen gewisser Ereignisse herzuleiten. In den R-Skripten werden Beispiele gezeigt, wie man solche Probleme auch ohne Kenntnisse aus der Kombinatorik mit roher Gewalt (brute force-Algorithmen) lösen kann.
