Schlagwort: Polynom

Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: die Integraldarstellung des Restgliedes

Um zu quantifizieren, wie gut ein Taylor-Polynom eine gegebene Funktion f(x) approximiert, wird das Restglied in Integraldarstellung hergeleitet. Ist f(x) genügend oft stetig differenzierbar, wird es sukzessive durch partielle Integration berechnet.

Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome mit beliebigem Entwicklungspunkt

An zwei einfachen Beispielen (Logarithmusfunktion und Wurzelfunktion) wird demonstriert, wie man zu einer gegeben Funktion f(x) das Taylor-Polynom berechnet: Dazu wird der Ansatz verallgemeinert, wie zum Entwicklungspunkt 0 aus den Ableitungen von f(x) die Koeffizienten des Taylor-Polynoms berechnet werden.

Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome: Motivation und einfache Beispiele

An zwei einfachen Beispielen (Exponentialfunktion und Kosinusfunktion) wird die Vorgehensweise demonstriert, wie man zu einer gegeben Funktion das Taylor-Polynom berechnet: Am Entwicklungspunkt wird der Funktionswert und der Wert der Ableitungen (bis zum Grad n) berechnet. Das Taylor-Polynom ist das Polynom n-ten Grades, das genau diese Funktions- und Ableitungswerte im Entwicklungspunkt besitzt. Weitere Eigenschaften der Taylor-Entwicklung werden nur angedeutet, aber hier nicht diskutiert.

Programmier-Aufgaben in C: Anwendungen von Feldern, Zeigern und Funktionen

Programmieraufgaben zur Anwendung von Feldern und Zeigern, die im Sinne der strukturierten Programmierung zu lösen sind. Die Quelltexte sollen in reinem C geschrieben werden, also keine Konzepte verwenden, die nur in C++ verfügbar sind.

Die Familie der apply-Funktionen in R Teil 2: Die Verarbeitung mehrerer Listen mit mapply(), Map() und outer()

Die Funktion lapply() ersetzt eine Iteration über die Komponenten einer Liste, wobei auf jede Komponente eine Funktion FUN angewendet wird; die Rückgabewerte werden wieder zu einer Liste zusammengefasst. Entsprechend wird mit mapply() über mehrere Listen iteriert, wobei in jedem Schritt entsprechende Komponenten ausgewählt werden und darauf wird die Funktion FUN angewendet. Die Funktion Map() ist ein Wrapper für mapply(), der die wichtigsten Anwendungsfälle abdeckt. Die meisten Funktionen in R sind vektorisiert, können also nicht nur auf einen Eingabewert, sondern auf einen Vektor angewendet werden. Die Vektorisierung von Funktionen ist ein in R zentrales Konzept, das ein besseres Verständnis der Funktion mapply() liefert. Zuletzt wird die Funktion outer() mit einigen Anwendungen besprochen. Die Funktion outer() besitzt zwei Vektoren (oder Felder) als Eingabewert und baut daraus ein komplexeres Feld auf.