Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Sternschaltung

Einordnung des Artikels

• Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)
  • Anwendungen in Physik und Technik
    • Elektrotechnik
      • Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Sternschaltung

Vorausgesetzt werden Kenntnisse über Wechselstrom und dessen Beschreibung mit trigonometrischen Funktionen.

Einführung

In einphasigen Systemen wird der Verbraucher von einer Spannungsquelle versorgt, die eine sinusförmige Wechselspannung liefert. Erzeugt wird eine derartige Wechselspannung etwa von einem Generator, der eine einzige Wicklung besitzt (siehe Abbildung 1 oben).

Ein Mehrphasensystem entsteht, wenn der Generator mehrere Wicklungen besitzt, die gleichmäßig über den Umfang verteilt sind. Es werden Spannungen induziert, die in Amplitude und Frequenz übereinstimmen, aber gegeneinander phasenverschoben sind. Das Beispiel eines zweiphasigen Systems ist in Abbildung 1 unten zu sehen. Technisch relevant ist vor allem das Dreiphasensystem.

Dazu wird zunächst das offene Dreiphasensystem vorgestellt, das aus drei unabhängigen Stromkreisen besteht, die durch um 120° phasenverschobene Wechselspannungen versorgt werden. Durch eine geeignete Verkettung der Spannungsquellen und Verbraucher entsteht die Sternschaltung. Technisch relevant ist auch die Verkettung zur Dreiecksschaltung, die hier nicht diskutiert wird.

Besitzen alle Verbraucher identischen komplexen Widerstand, so spricht man von einem symmetrischen Dreiphasensystem. Mit dieser Voraussetzung ist die Berechnung der Ströme und Leistungen besonders einfach.

Die wichtigsten Vorteile von Mehrphasensystemen (hier das Dreiphasensystem) gegenüber einphasigen Systemen sind:

1. Durch die Verkettung der Spannungsquellen und Verbraucher benötigt man weniger Zuleitungen.
2. Obwohl der Generator drei phasenverschobene Spannungen gleicher Amplitude erzeugt, werden dem Verbraucher zwei Spannungen bereitgestellt, die sich in ihrem Betrag unterscheiden (Strangspannung und Außenleiterspannung).
3. Im einphasigen System ist die Zufuhr der Leistung an den Verbraucher zeitabhängig (sinusförmig). Beim Mehrphasensystem ist sie zeitlich konstant.

Die symmetrische Sternschaltung und die Berechnung der Leistungen werden im Folgenden ausführlich diskutiert.

Das Zweiphasensystem

Das symmetrische Zweiphasensystem

Abbildung 1 zeigt oben das Funktionsprinzip eines Generators: Eine Spule dreht sich im Magnetfeld. Durch die Änderung der vom Feld durchsetzten Fläche wird eine Spannung induziert; schließt man einen Verbraucher an die Klemmen der Spule, so kann die Spule als Wechselspannungsquelle genutzt werden. Diese Wechselspannung ist sinusförmig, wobei die Kreisfrequenz ω mit der Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung übereinstimmt.

Links in Abbildung 1 ist die Ausdehnung der Spule deutlich zu sehen, die Darstellung rechts zeigt die Anordnung von oben.

Abbildung 1: Das Prinzip des Generators und des Zweiphasensystems: in jeder rotierenden Spule wird eine Wechselspannung induziert. Sind die Spulen um 90° gegeneinander verdreht, werden zwei Wechselspannungen mit 90° Phasenverschiebung induziert.

Abbildung 1 unten zeigt ein sogenanntes Zweiphasensystem: Im Magnetfeld befinden sich jetzt zwei Spulen, die gegeneinander um 90° verdreht sind. Dadurch werden zwei Wechselspannungen induziert, die um 90° phasenverschoben sind.

Abbildung 2 zeigt die im Zweiphasensystem induzierten Wechselspannungen (grün und blau) sowie die Summe der beiden Spannungen. Die Summe ist wieder eine Wechselspannung gleicher Frequenz, aber ihre Amplitude ist um den Faktor √2 größer ist als die der Einzelspannungen.

Abbildung 2: Darstellung der Funktionen sin x (blau), cos x (grün) sowie sin x + cos x (rot).

In Abbildung 3 werden zwei Möglichkeiten gezeigt, wie man die in Abbildung 1 unten induzierten Spannungen einsetzen kann:

1. Die Spannungsquellen werden in Reihe geschaltet und damit wird ein Verbraucher versorgt. Diese Anordnung ist für die Entwicklung eines Drehstromsystems nicht relevant.
2. Sowohl die Spannungsquellen als auch die Verbraucher werden in einem Punkt zusammengeführt. Diese beiden Sternpunkte werden durch eine Leitung verbunden. Dadurch entsteht das sogenannte Zweiphasensystem, aus dem später das Drehstromsystem entwickelt wird.

Abbildung 3: Schaltungen mit den beiden Spannungen aus Abbildung 1 zur Versorgung von zwei Verbrauchern. Oben: Reihenschaltung. Unten: Parallelschaltung mit Kurzschluss, also das Zweiphasensystem.

Die Leistung im symmetrischen Zweiphasensystem

Als Zweiphasensystem wird die gesamte Anordnung in Abbildung 3 unten bezeichnet, also

• die Spannungsquellen (die in Amplitude und Frequenz übereinstimmen, aber um 90° phasenverschoben sind),
• die beiden Verbraucher und
• die Leitung, die den Kurzschluss herstellt.

Das Zweiphasensystem wird als symmetrisch bezeichnet, wenn die Verbraucher identisch sind. (In Abbildung 3 sind es Ohmsche Widerstände, es können aber auch beliebige komplexe Widerstände sein.)

Durch den Kurzschluss lassen sich im Zweiphasensystem sofort zwei Maschen identifizieren, woraus man die Ströme durch die Widerstände berechnen kann (siehe Abbildung 3 rechts unten). Da die Leistung am Widerstand aus dem Produkt von Strom und Spannung berechnet wird, haben die Leistungen der beiden Verbraucher den für einen Wechselstrom charakteristischen Verlauf der Funktion "Sinus zum Quadrat" beziehungsweise "Kosinus zum Quadrat".

Aber dadurch dass die beiden Wechselspannungen phasenverschoben sind, ist die Gesamtleistung zeitlich konstant (siehe Abbildung 3 unten).

Analysiert man dagegen die Reihenschaltung der Spannungsquellen (Abbildung 3 oben), so erkennt man, dass die zeitliche Konstanz der Gesamtleistung keine Selbstverständlichkeit ist: Hier hat die Gesamtleistung wieder den Verlauf der Funktion "Sinus zum Quadrat".

Das Dreiphasensystem

Das offene Dreiphasensystem

Die beiden Spulen in Abbildung 1 unten sind um 90° gegeneinander verdreht. Verwendet man drei Spulen, die jeweils um 120° gegeneinander verdreht sind, werden drei Wechselspannungen mit einer Phasenverschiebung von jeweils 120° induziert (siehe Abbildung 4 rechts).

Beim offenen Dreiphasensystem werden diese drei Wechselspannungen verwendet, um unabhängig voneinander drei Verbraucher zu versorgen. Das System wird wieder als symmetrisch bezeichnet, wenn die Verbraucher identisch sind.

Abbildung 4: Das offene Dreiphasensystem. Die drei Spannungsquellen erzeugen Wechselspannung gleicher Frequenz und Amplitude, sind aber um jeweils 120° phasenverschoben. Im offenen Dreiphasensystem werden drei Verbraucher unabhängig voneinander von den drei Spannungsquellen versorgt.

Das offene Dreiphasensystem hat gegenüber dem üblichen Wechselstromsystem keinen Vorteil, da man lediglich mehr Leitungen benötigt. In der Technik wird es daher nicht verwendet. Aber durch geeignete Verkettung der Spannungsquellen kann man Schaltungen entwickeln, die gegenüber einem Wechselstromsystem mehrere Vorteile besitzen.

Eine für die weiteren Überlegungen wichtige Eigenschaft des offenen Dreiphasensystems ist in Abbildung 4 unten gezeigt: Durch jede Spannungsquelle wird eine sinusförmige Wechselspannung erzeugt, wodurch eine zeitlich variable Leistung an den Verbraucher abgegeben wird. Addiert man die drei Leistungen, so erhält man eine zeitlich konstante Leistung. Diese Eigenschaft wurde schon beim offenen Zweiphasensystem gezeigt (siehe Abbildung 3).

Verkettung der Spannungsquellen zur Sternschaltung

Man kann die Schaltung in Abbildung 3 unten, also das Zweiphasensystem, auch folgendermaßen interpretieren:

• In einem symmetrischen offenen Zweiphasensystem werden sowohl die beiden Spannungsquellen als auch die beiden Verbraucher in je einem Punkt zusammengeführt.
• Diese beiden Punkte werden dann kurzgeschlossen.

Entsprechend kann man das offene Dreiphasensystem verändern (siehe Abbildung 5):

• Die drei Spannungsquellen werden im Sternpunkt N des Generators zusammengeführt.
• Die drei Verbraucher werden im Sternpunkt N' der Verbraucher zusammengeführt.
• Die Punkte N und N' werden kurzgeschlossen. Die zugehörige Leitung wird als Neutralleiter oder Sternpunktleiter bezeichnet.

Abbildung 5: Das offene Dreiphasensystem (links) wird zum Dreiphasensystem in Sternschaltung umgebaut indem die drei Spannungsquellen und die drei Verbraucher in je einem Punkt zusammengeführt und diese Punkte kurzgeschlossen werden (Neutralleiter NN').

Die neu entstandene Schaltung (Abbildung 5 rechts) wird als Dreiphasensystem in Sternschaltung bezeichnet. Es ist wieder symmetrisch, weil hier die Verbraucher drei identische komplexe Widerstände Z sind.

Um die Bezeichnung Sternschaltung zu rechtfertigen, werden sowohl die Spannungsquellen als auch die Verbraucher in einer anderen Geometrie angeordnet, nämlich sternförmig um die jeweiligen Sternpunkte (siehe Abbildung 6).

Abbildung 6: Das Dreiphasensystem in Sternschaltung mit den beiden Sternpunkten N und N'. Die leitende Verbindung von N und N' wird als Neutralleiter bezeichnet. Die drei Verbraucher sind beliebige komplexe Widerstände. Hier ist eine symmetrische Sternschaltung mit identischen komplexen Widerständen Z dargestellt.

Man kann in Abbildung 6 leicht die relevanten Maschen identifizieren, um die Ströme durch die Verbraucher zu berechnen. Dadurch dass die drei Verbraucher identischen komplexen Widerstand Z = Z exp(jφ) besitzen, sind

• die Scheitelwerte der Ströme identisch,
• die Phasenverschiebungen zwischen den Generatorspannungen und den Strömen jeweils identisch (siehe Abbildung 6 unten).

Aufgabe: Warum ist der Strom im Neutralleiter gleich null? Warum gilt dies nur für das symmetrische Dreiphasensystem in Sternschaltung?

Strangspannungen und Außenleiterspannungen

Hat man einmal verstanden wie die Sternschaltung aus dem offenen Dreiphasensystem aufgebaut wird (siehe Abbildungen 5 und 6), so ist es nicht mehr nötig die Spannungsquellen darzustellen. Es werden lediglich die Verbraucher, die Anschlüsse der Spannungsquellen sowie der Sternpunkt der Verbraucher dargestellt; man erhält Abbildung 7.

Abbildung 7: Das Dreiphasensystem in Sternschaltung, in dem nur noch die Verbraucher und die Anschlüsse der Spannungsquellen dargestellt werden.

Die für die Sternschaltung relevanten Spannungen und Ströme kann man aus Abbildung 6 und 7 ablesen:

1. An den Verbrauchern liegen jeweils die zugehörigen Generatorspannungen an; sie werden als Strangspannungen u_n, n = 1, 2 , 3, bezeichnet. Anstelle von Strangspannung sagt man auch Sternspannung.
2. Die Außenleiterspannungen sind jeweils gleich der Differenz zweier Strangspannungen, zum Beispiel u₁₂(t) = u₁(t) - u₂(t). Aufgrund der Phasenverschiebung zwischen den Strangspannungen ergibt sich für den Betrag einer Außenleiterspannung, dass sie um den Faktor √3 größer ist als eine Strangspannung.
3. Der Strom durch einen Verbraucher wird als Strangstrom bezeichnet. Für den Fall, dass Z ein Ohmscher Widerstand ist, sind Strangspannung und Strangstrom in Phase. Andernfalls muss noch die Phase aus dem komplexen Widerstand Z = Ze^jφ berücksichtigt werden.
4. Die Außenleiterströme i_n stimmen mit den Strangströmen überein.

Beispiel:

Beträgt der Effektivwert der Generatorspannungen 230 V, dann ist ihre Amplitude gleich 230 V·√2 ≈ 325 V.

Der Effektivwert der Außenleiterspannungen ist dann gleich 230 V·√3 ≈ 398 V und ihre Amplitude etwa gleich 563 V. (Üblicherweise wird der Effektivwert der Außenleiterspannung dann mit 400 V angegeben.)

Aufgabe:

1. Zeigen Sie, dass die Summe der Strangspannungen gleich null ist.
2. Zeigen Sie, dass die Summe der Außenleiterspannungen gleich null ist.
3. Zeigen Sie, dass der Strom im Neutralleiter gleich null ist.

Warum gelten diese Aussagen nur für die symmetrische Sternschaltung?

Die Leistung im Dreiphasensystem

Die Leistung im offenen Dreiphasensystem

Abbildung 4 zeigt das symmetrische offene Dreiphasensystem, in dem jeder Verbraucher ein Ohmscher Widerstand R ist. Man kann aus den gegebenen Spannungen u_n(t) sofort die Ströme i_n(t) berechnen und daraus die Gesamtleistung. Die Einzelleistungen verhalten sich wie in einem einphasigen System, sind aber gegeneinander phasenverschoben (um jeweils 120°).

Wendet man auf die Terme der Einzelleistungen (siehe Abbildung 4 unten) das Additionstheorem für den Kosinus an, so sieht man, dass die Gesamtleistung zeitlich konstant ist. Der zeitliche Verlauf der Einzelleistungen und der Gesamtleistung ist qualitativ in Abbildung 8 dargestellt.

Abbildung 8: Leistungen im offenen Dreiphasensystem. Die Einzelleistungen zeigen den typischen Verlauf einer Wechselspannung; sie sind lediglich um jeweils 120° phasenverschoben (blau, grün und türkisfarben). Die Gesamtleistung dagegen ist eine Konstante (rot).

Sind die Verbraucher nicht mehr Ohmsche Widerstände sondern komplexe Widerstände Z = Ze^jφ, so ergibt sich eine zusätzliche Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung aus u = Z·i. Dass die Gesamtleistung zeitlich konstant ist, bleibt auch in diesem Fall richtig.

Aufgabe: Berechnen Sie die Einzelleistungen und die Gesamtleistung für Verbraucher mit komplexem Widerstand Z und stellen Sie deren Zeitverlauf graphisch dar.

Die Leistung in der symmetrischen Sternschaltung

Untersucht wird die Schaltung in Abbildung 6. Man kann die Maschen identifizieren, um zu den gegebenen Generatorspannungen die Ströme zu berechnen. Die an den ersten Verbraucher abgegebene Leistung ist exemplarisch in Abbildung 9 Gleichung (1) berechnet; mit Hilfe des Additionstheorems kann sie in Gleichung (3) umgeformt werden. Die Leistung P₁ lässt sich in zwei Summanden zerlegen:

• ein zeitunabhängiger Summand, in den aber die Phasenverschiebung φ zwischen Strom und Spannung eingeht sowie
• ein zeitabhängiger Summand, der auch von φ abhängt.

Addiert man die drei Leistungen der drei Stränge, so erhält man zunächst Gleichung (6). Allerdings ist es unüblich mit den Amplituden zu arbeiten, daher werden die Effektivwerte für die Strang- und Außenleiterspannung sowie für den Strangstrom eingeführt. Mit den Effektivwerten kann man die Gesamtleistung wie in Gleichung (7) schreiben.

Bildet man jetzt die Summe der drei Einzelleistungen, so addieren sich die drei zeitabhängigen Summanden zu einer Konstante und man erhält Gleichung (2) in Abbildung 9.

Abbildung 9: Berechnung der Leistung der symmetrischen Sternschaltung.

Die Leistungen, die in Abbildung 9, Gleichung (1), (3-6) berechnet wurden, sind natürlich die Wirkleistungen, die an den komplexen Widerständen umgesetzt werden. Da Strom und Spannung um den Winkel phasenverschoben sind, muss die Wirkleistung P mit S·cosφ übereinstimmen, wobei S die Scheinleistung ist. Damit kann man aber sofort die Scheinleistung S und die Blindleistung Q angeben. Wie bei der Wirkleistung hat man wieder mehrere Möglichkeiten, wie man diese darstellt. In Abbildung 10, Gleichung (1-3) werden die Leistungen entweder mit den Strang- oder Außenleiterspannungen und -Strömen dargestellt.

Abbildung 10: Die Wirk-, Blind- und Scheinleistung bei der symmetrischen Sternschaltung.