Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Dreieckschaltung

Einordnung des Artikels

• Ausgewählte Kapitel der Mathematik (für Programmierer, Informatiker, Ingenieure und Naturwissenschaftler)
  • Anwendungen in Physik und Technik
    • Elektrotechnik
      • Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Sternschaltung
      • Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Dreieckschaltung

Vorausgesetzt werden Kenntnisse über Wechselstrom und dessen Beschreibung mit trigonometrischen Funktionen. Die Methoden zur Analyse von einfachen Drehstromschaltungen werden in Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Sternschaltung vorgestellt und hier ohne erneute Erklärungen verwendet.

Einführung

In Einführung in Drehstromsysteme: Die symmetrische Sternschaltung wurde die Verkettung der Generatorspannungen zu einem Mehrphasensystems am Beispiel der Sternschaltung diskutiert. Ebenso relevant für technische Anwendungen ist die Dreieckschaltung. Nach der ausführlichen Darstellung der Sternschaltung wird die Dreieckschaltung hier nur sehr kurz behandelt:

Es wird gezeigt:

1. Wie werden die Generatorspannungen an die zu einem Dreieck verketteten Verbraucher angeschlossen?
2. Wie groß sind Strangspannung, Außenleiterspannung, Strangstrom und Außenleiterstrom in der symmetrischen Dreieckschaltung?
3. Wie berechnet man die Leistungen?

Die symmetrische Dreieckschaltung

Abbildung 1 zeigt ein symmetrisches Dreiphasensystem in Dreieckschaltung:

1. Die drei Generatorspannungen werden wie in der Sternschaltung verkettet (links).
2. Die Verbraucher (hier drei identische komplexe Widerstände Z) werden zu einem Dreieck verkettet (rechts).
3. Die drei Außenleiterspannungen des Sterns werden als Strangspannungen an die drei Verbraucher angelegt.
4. Es gibt hier keinen Neutralleiter, da der Sternpunkt des Generators nur dazu verwendet wird, um die Generatorspannungen zu verketten.

Man erkennt sofort, dass am Dreieck die Außenleiterspannungen mit den Strangspannungen übereinstimmen. Das heißt dass die Amplituden der Strangspannungen im Dreieck um den Faktor √3 größer sind als die Amplituden der Generatorspannungen. Dieser Zusammenhang gilt dann auch für die Effektivwerte.

Abbildung 1: Die symmetrische Dreieckschaltung, links die zum Stern verketteten Generatorspannungen, rechts die zum Dreieck verketteten Verbraucher.

Man kann jetzt wieder die Maschen zur Berechnung der Ströme identifizieren, die in Abbildung 2 eingetragen werden (die Spannungsquellen sind nicht mehr dargestellt und werden durch die drei Anschlüsse symbolisiert):

1. Die Strangströme i_kl berechnen sich aus den Generatorspannungen u_kl und den komplexen Widerständen Z.
2. Da die Generatorspannungen um je 120° phasenverschoben sind und die komplexen Widerstände identisch sind, sind auch die Strangströme um je 120° phasenverschoben.
3. Üblicherweise gibt man die Effektivwerte der Strangströme an, die hier mit I_kl bezeichnet werden.
4. Aufgrund der Verzweigungen (1, 2 und 3) stimmen die Strangströme nicht mit den Außenleiterströmen überein: Die Effektivwerte der Außenleiterströme sind um den Faktor √3 größer als die Effektivwerte der Strangströme.

Abbildung 2: Die Ströme in der symmetrischen Dreieckschaltung.

Beispiel: Dreieckschaltung mit drei Ohmschen Widerständen R = 100 Ω

Betragen die Effektivwerte der Generatorspannungen 230 V, so beträgt der Effektivwert der Außenleiterspannung etwa 400 V. Diese Spannung von 400 V liegt dann an jedem Widerstand des Verbrauchers an.

Der Effektivwert eines Strangstromes beträgt dann 4 A. Der Effektivwert des Außenleiterstromes ergibt sich durch Multiplikation mit √3, er beträgt also etwa 6,9 A.

Die Leistung in der symmetrischen Dreieckschaltung

Zur Berechnung der Leistungen geht man genau so vor wie bei der symmetrischen Sternschaltung:

1. Man berechnet die zeitabhängige Wirkleistung P₁ (t) an einem Verbraucher.
2. Da Strom und Spannung an den Verbrauchern jeweils um 120° phasenverschoben sind, kennt man damit auch die Wirkleistungen an den anderen beiden Verbrauchern.
3. Man addiert diese drei zeitabhängigen Funktionen zur gesamten Wirkleistung P(t).
4. Da Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S durch P = S cos φ und Q = S sin φ verknüpft sind, kann man aus der Wirkleistung P die Blind- und Scheinleistung berechnen.
5. Die Ergebnisse können wieder auf verschiedene Arten dargestellt werden: Zum Einen kann man entweder die Amplituden oder die Effektivwerte einsetzen. Zum anderen kann man entweder Außenleiterspannung und -strom oder Strangspannung und -strom verwenden.

Die Berechnungen sind in Abbildung 3 gezeigt.

Abbildung 3: Die Berechnung der Leistungen in der symmetrischen Dreieckschaltung.