Schlagwort: Entropie

Die Entropie ist ein zentrales Konzept in der Thermodynamik und der statistischen Mechanik. Sie beschreibt die Unordnung oder den Grad der Zerstreuung von Energie oder Information in einem System. Je höher die Entropie, desto größer ist die Unordnung.

In einem Artikel zur Einführung einer Dynamik für das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus und Simulationen zur statistischen Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik wird die Bedeutung der Entropie für die Beschreibung von thermodynamischen Prozessen verdeutlicht. Dabei wird insbesondere auf die Boltzmann-Entropie eingegangen, die die Gleichwahrscheinlichkeit der Mikrozustände eines Systems berücksichtigt.

Ein anderer Artikel beschäftigt sich mit der Berechnung der Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung und gibt einfache Beispiele zur Veranschaulichung. Hier wird die bedingte Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert und ihre Anwendung erklärt.

Des Weiteren wird in einem Artikel die Veranschaulichung der freien Energie bei einer isochoren Zustandsänderung im TS-Diagramm behandelt. Die freie Energie ist ein thermodynamisches Potential, das eng mit der Entropie verbunden ist und in vielen Bereichen der Physik von großer Bedeutung ist.

Ein weiterer Artikel beschäftigt sich mit der Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases und gibt Einblicke in die statistische Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Hier werden auch einfache Simulationen zur Boltzmann-Entropie vorgestellt.

Die Entropie spielt auch eine Rolle bei der Berechnung der thermodynamischen und statistischen Größen für das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus. Hier werden die Eigenschaften der thermodynamischen Potentiale, insbesondere der freien Energie, erläutert.

Zusätzlich werden in verschiedenen Artikeln Anwendungen des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik behandelt, wie der Druckausgleich und der Temperaturausgleich. Der Carnot-Prozess und der Carnot-Faktor werden ebenfalls diskutiert.

Die gegenseitige Information

Überträgt man den Begriff der Entropie einer Zufallsvariable auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von zwei Zufallsvariablen, so ist es naheliegend die gemeinsame Entropie und die bedingte Entropie einzuführen, die über die Kettenregel miteinander verknüpft sind. Diese wiederum motiviert die Einführung einer neuen Größe, der gegenseitigen Information zweier Zufallsvariablen. Sie ist symmetrisch in den beiden Zufallsvariablen und beschreibt die Information, die in einer Zufallsvariable über die andere Zufallsvariable enthalten ist. An einfachen Beispielen wird die Definition der gegenseitigen Information motiviert und veranschaulicht.

Die bedingte Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele

Die Entropie wurde eingeführt als ein Maß für die Ungewissheit über den Ausgang eines Zufallsexperimentes. Entsprechend kann man eine bedingte Entropie definieren, wenn man die bedingten Wahrscheinlichkeiten verwendet, wobei man als Bedingung entweder ein Ereignis oder eine Zufallsvariable zulässt. Die Definition der bedingten Entropie und ihr Zusammenhang mit der gemeinsamen Entropie zweier Zufallsvariablen (Kettenregel) wird an einfachen Beispielen erläutert.

Die Additivität der Entropie bei unabhängigen Zufallsvariablen

Akzeptiert man die Entropie als eine Kenngröße einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Ungewissheit über den Ausgang eines Zufallsexperimentes beschreibt, so wird man fordern, dass sich bei unabhängigen Zufallsexperimenten die Entropien addieren. Um diese Aussage schärfer formulieren zu können, wird die gemeinsame Entropie H(X, Y) von zwei Zufallsvariablen eingeführt. Es wird gezeigt, dass die übliche Definition der Entropie die Additivitätseigenschaft bei unabhängigen Zufallsvariablen X und Y besitzt.

Veranschaulichung der freien Energie bei einer isochoren Zustandsänderung im TS-Diagramm

Am Beispiel der isochoren Erwärmung werden die Eigenschaften der freien Energie F = U - TS und der gebundenen Energie G = TS erläutert. Speziell wird gezeigt, wie man ihre Veränderung darstellen kann, wenn man vom US-Diagramm zum TS-Diagramm übergeht.

Eigenschaften der thermodynamischen Potentiale: Die freie Energie

Die freie Energie F = U - TS ist die (negative) Legendre-Transformierte der inneren Energie U, wenn diese als Funktion der extensiven Variablen Entropie S und Volumen V dargestellt wird: U = U(S, V); die Legendre-Transformation wird dabei bezüglich der Variable S berechnet. Es ist dann leicht nachzuweisen, dass die freie Energie ein thermodynamisches Potential ist und dass die Änderung der freien Energie bei isothermen Zustandsänderungen mit der Zufuhr von mechanischer Arbeit übereinstimmt.

Die freie Energie und die gebundene Energie

Mit Hilfe der freien Energie und der gebundenen Energie soll die innere Energie in zwei Anteile zerlegt werden: Die freie Energie soll allein durch die Zufuhr von mechanischer Arbeit und die gebundene Energie allein durch die Zufuhr von Wärme verändert werden. Diese Zerlegung lässt sich allerdings nur für isotherme Prozesse durchführen. Die Eigenschaften der freien und gebundenen Energie werden für die isotherme Zustandsänderung und andere einfache Prozesse diskutiert.

Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Der Druckausgleich

Mit dem Druckausgleich (also zwei Kammern mit einer beweglichen Trennwand, in der sich anfangs Gase mit unterschiedlichem Druck befinden) lassen sich zahlreiche Aspekte der Entropie und allgemeiner der Thermodynamik demonstrieren (reversible und irreversible Prozessführung, Eindeutigkeit des Endzustandes, Maximum der Entropie, Temperatur- und Volumenabhängigkeit der Entropie).

Die innere Energie als thermodynamisches Potential

Wird die innere Energie als Funktion der extensiven Variablen dargestellt, enthält sie sämtliche Eigenschaften des entsprechenden thermodynamischen Systems; dies rechtfertigt die innere Energie als thermodynamisches Potential zu bezeichnen. Untersucht man speziell die innere Energie bei adiabatischen Zustandsänderungen, so kann man leicht motivieren, weshalb andere thermodynamische Potentiale (wie freie Energie oder Enthalpie) eingeführt werden. Am idealen einatomigen Gas werden diese Eigenschaften der inneren Energie demonstriert.

Die Berechnung der Entropie des idealen einatomigen Gases

Für das ideale einatomige Gas werden die Zusammenhänge zwischen den Hauptsätzen der Thermodynamik und den Zustandsgleichungen (thermische und kalorische Zustandsgleichung) diskutiert und angewendet, um die Entropie in verschiedenen Darstellungen zu berechnen. Illustriert werden die Herleitungen an speziellen Zustandsänderungen (isotherm, isochor, adiabatisch, freie Expansion).

Die Entropie einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung: Definition und einfache Beispiele

Die Definition der Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes oder einer Zufallsvariable wird an einfachen Beispielen erläutert. Es wird diskutiert, dass die Entropie kein Streuungsmaß ist (wie die Standardabweichung), sondern die Ungewissheit (oder Unbestimmtheit) des Ausgangs eines Zufallsexperimentes beschreibt.

Simulation des Temperaturausgleichs im Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus

Es werden Simulationen zum Temperaturausgleich durchgeführt: Das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus wird in zwei Teilsysteme zerlegt, die anfangs unterschiedliche Energie haben. Es entwickelt sich unter einer einfachen Dynamik, bei der zufällig zwei Moleküle ausgewählt werden, die ein Energiequant austauschen. Die Ergebnisse der Simulationen sollen die Konzepte illustrieren, mit denen die statistische Mechanik einen irreversiblen Vorgang beschreibt, der in der phänomenologischen Thermodynamik als Paradebeispiel für den zweiten Hauptsatz dient.

Einführung einer Dynamik für das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus und Simulationen zur statistischen Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik

Das Modellsystem mit äquidistanten Energieniveaus wird mit einer einfachen Dynamik ausgestattet, die es erlaubt Energie zwischen zwei Molekülen auszutauschen. Damit lässt sich beobachten, welche Folge von Zuständen das System einnimmt, wenn man es in einem unwahrscheinlichen Mikrozustand startet. Die vorgestellten Simulationen und ihre Auswertung liefern weitere Illustrationen der Konzepte der statistischen Mechanik: Mikro- und Makrozustände, statistische Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Einfache Simulationen zur Boltzmann-Entropie und zur statistischen Interpretation des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik

Die Konzepte Mikrozustand, Makrozustand, Gleichverteilungs-Postulat und Boltzmann-Entropie der statistischen Mechanik werden mit Hilfe einfacher Simulationen erläutert.

Konzepte der Statistischen Mechanik: Die Gleichwahrscheinlichkeit der Mikrozustände und die Definition der Boltzmann-Entropie

In den vorausgegangenen Kapiteln wurden die Abzählprobleme behandelt, die sich ergeben, wenn ein thermodynamisches System entweder auf der Ebene der Mikrozustände oder der Makrozustände beschrieben wird. Vergleicht man diese Ergebnisse mit den Gleichungen der phänomenologischen Thermodynamik, kann man eine statistische Definition der Entropie ableiten und damit eine (statistische) Erklärung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik liefern. Die Boltzmann-Entropie wird mit Hilfe der Anzahl der Mikrozustände pro Makrozustand definiert und besitzt die Eigenschaften, die man innerhalb der Thermodynamik an die Entropie stellt.

Anwendung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik: Temperaturausgleich

Es werden zwei Anwendungen des Entropiesatzes besprochen. Zum Einen warum Wärme immer vom wärmeren zum kälteren Körper strömt und niemals umgekehrt. Zum Anderen die Entropieproduktion bei einem Mischvorgang. Dabei wird geklärt, für welchen Rechenschritt welcher Hauptsatz der Thermodynamik verwendet wird.