Schlagwort: Rucksackproblem

Das "Rucksackproblem" (oder "Knapsack-Problem") ist ein klassisches Optimierungsproblem in der Informatik und Mathematik. Es handelt sich um ein Problem der kombinatorischen Optimierung, insbesondere im Bereich des Operations Research und der dynamischen Programmierung. Das Problem kann wie folgt beschrieben werden:

Du hast einen Rucksack mit einer begrenzten Tragfähigkeit, dargestellt durch ein maximales Gewicht oder Volumen, das er aufnehmen kann. Außerdem hast du eine Reihe von Gegenständen, die jeweils ein bestimmtes Gewicht und einen Wert haben. Dein Ziel ist es, die Kombination von Gegenständen zu bestimmen, die in den Rucksack aufgenommen werden sollen, so dass das Gesamtgewicht die Kapazität des Rucksacks nicht überschreitet und der Gesamtwert der enthaltenen Gegenstände maximiert wird.

Formal kann das Rucksackproblem wie folgt definiert werden:

  • Du hast eine Menge von n Gegenständen, wobei jeder Gegenstand i ein Gewicht w(i) und einen Wert v(i) hat.
  • Du hast einen Rucksack mit einer maximalen Gewichtskapazität W.
  • Du möchtest eine Teilmenge von Gegenständen auswählen, die in den Rucksack aufgenommen werden sollen, so dass das Gesamtgewicht der ausgewählten Gegenstände W nicht überschreitet und der Gesamtwert der ausgewählten Gegenstände maximiert wird.

Mathematisch gesehen kann das Knapsack-Problem als Optimierungsproblem ausgedrückt werden, typischerweise mit dem Ziel der Maximierung des Gesamtwerts unter Berücksichtigung der Beschränkung des Gesamtgewichts:

Maximierung von Σ (v(i) * x(i)) für alle Gegenstände i, unter der Bedingung Σ (w(i) * x(i)) ≤ W für alle Gegenstände i
Dabei ist x(i) eine binäre Entscheidungsvariable, die den Wert 1 hat, wenn der Gegenstand i im Rucksack enthalten ist, und den Wert 0, wenn er nicht enthalten ist.

Das Rucksackproblem gibt es in verschiedenen Variationen und wird in einer Vielzahl von Anwendungen eingesetzt, z. B. bei der Ressourcenzuweisung, der Portfolio-Optimierung und bei Problemen mit der Reduzierung von Lagerbeständen in der Fertigung. Es ist ein bekanntes NP-hartes Problem, was bedeutet, dass es keinen bekannten Algorithmus gibt, der alle Instanzen des Problems in polynomieller Zeit lösen kann. Es gibt jedoch effiziente Algorithmen, einschließlich dynamischer Programmierung und gieriger Algorithmen, die optimale Lösungen für viele Instanzen des Problems liefern können, insbesondere wenn das Problem klein ist oder spezifische Merkmale aufweist.

C++ Programmieraufgabe: Das Rucksackproblem

Das Rucksackproblem gehört zur Klasse der Optimierungsprobleme. Dabei sollen aus einer Menge von Gegenständen diejenigen in den Rucksack gepackt werden, die den Wert seines Inhaltes maximieren. Für kleine Anzahlen von Gegenständen kann man die optimale Lösung leicht erraten. Für sehr große Anzahlen kann ein Algorithmus, der alle möglichen Bepackungen durchprobiert, unzumutbare Rechenzeit beanspruchen.